{l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=6$$

$$y=-10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 4y ઍડ કરો.

$$x+4y=-34$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$4y-5x=-70$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5x ઍડ કરો.

$$4y=5x-70$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

-70+5x ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4y+x=-34 માં y માટે -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

-\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-70+x=-34$$

x માં 5x ઍડ કરો.

$$6x-70=-34$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 70 ઍડ કરો.

$$6x=36$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=6$$

y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}માં x માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

6 ને \frac{5}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{15}{2} માં -\frac{35}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-10,x=6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 4y ઍડ કરો.

$$x+4y=-34$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=-10,x=6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 4y ઍડ કરો.

$$x+4y=-34$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 4y-5x=-70માંથી 4y+x=-34 ને ઘટાડો.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

-4y માં 4y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 4y અને -4y ને વિભાજિત કરો.

$$-5x-x=-70+34$$

-x માં -5x ઍડ કરો.

$$-6x=-70+34$$

34 માં -70 ઍડ કરો.

$$-6x=-36$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=6$$

4y+x=-34માં x માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$4y+6=-34$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$4y=-40$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-10$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=-10,x=6$$