{l}{4x-3y=5}{8x+6y=10} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 5 } \\ { 8 x + 6 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x-3y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$4x=3y+5$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

3y+5 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 8x+6y=10 માં x માટે \frac{3y+5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$8\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+6y=10$$

\frac{3y+5}{4} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6y+10+6y=10$$

6y માં 6y ઍડ કરો.

$$12y+10=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$12y=0$$

બન્ને બાજુનો 12 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=0$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}&\frac{4}{4\times 6-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 10\\-\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{12}\times 10\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x-3y=5,8x+6y=10$$

4x અને 8x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 8 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$8\times 4x+8\left(-3\right)y=8\times 5,4\times 8x+4\times 6y=4\times 10$$

સરળ બનાવો.

$$32x-24y=40,32x+24y=40$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 32x-24y=40માંથી 32x+24y=40 ને ઘટાડો.

$$32x-32x-24y-24y=40-40$$

-32x માં 32x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 32x અને -32x ને વિભાજિત કરો.

$$-24y-24y=40-40$$

-24y માં -24y ઍડ કરો.

$$-48y=40-40$$

-40 માં 40 ઍડ કરો.

$$-48y=0$$

બન્ને બાજુનો -48 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=0$$

8x+6y=10માં y માટે 0 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$8x=10$$

બન્ને બાજુનો 8 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{5}{4},y=0$$