{l}{4x-2y=11}{-5x+3y=-19} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 11 } \\ { - 5 x + 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x-2y=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$4x=2y+11$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+11\right)$$

2y+11 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, -5x+3y=-19 માં x માટે \frac{y}{2}+\frac{11}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-5\left(\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-19$$

\frac{y}{2}+\frac{11}{4} ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{5}{2}y-\frac{55}{4}+3y=-19$$

3y માં -\frac{5y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}y-\frac{55}{4}=-19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{55}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{2}y=-\frac{21}{4}$$

બન્ને બાજુનો 2 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-\frac{21}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}માં y માટે -\frac{21}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{21}{2}\right)+\frac{11}{4}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{2} નો -\frac{21}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{-21+11}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{21}{4} માં \frac{11}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\\frac{5}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 11-19\\\frac{5}{2}\times 11+2\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{21}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

4x અને -5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-5\times 4x-5\left(-2\right)y=-5\times 11,4\left(-5\right)x+4\times 3y=4\left(-19\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-20x+10y=-55,-20x+12y=-76$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -20x+10y=-55માંથી -20x+12y=-76 ને ઘટાડો.

$$-20x+20x+10y-12y=-55+76$$

20x માં -20x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -20x અને 20x ને વિભાજિત કરો.

$$10y-12y=-55+76$$

-12y માં 10y ઍડ કરો.

$$-2y=-55+76$$

76 માં -55 ઍડ કરો.

$$-2y=21$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{21}{2}$$

-5x+3y=-19માં y માટે -\frac{21}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-5x+3\left(-\frac{21}{2}\right)=-19$$

-\frac{21}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-5x-\frac{63}{2}=-19$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{63}{2} ઍડ કરો.

$$-5x=\frac{25}{2}$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$