{l}{4x+y=15}{5y+19x=30} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=45$$

$$y=-165$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+y=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-y+15$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

-y+15 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 19x+5y=30 માં x માટે \frac{-y+15}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

\frac{-y+15}{4} ને 19 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

5y માં -\frac{19y}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{285}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

બન્ને બાજુનો 4 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-165$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}માં y માટે -165 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

-165 ને -\frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{165}{4} માં \frac{15}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=45$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=45,y=-165$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=45,y=-165$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

4x અને 19x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 19 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

સરળ બનાવો.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 76x+19y=285માંથી 76x+20y=120 ને ઘટાડો.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

-76x માં 76x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 76x અને -76x ને વિભાજિત કરો.

$$19y-20y=285-120$$

-20y માં 19y ઍડ કરો.

$$-y=285-120$$

-120 માં 285 ઍડ કરો.

$$-y=165$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-165$$

19x+5y=30માં y માટે -165 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

-165 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$19x-825=30$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 825 ઍડ કરો.

$$19x=855$$

બન્ને બાજુનો 19 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=45$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=45,y=-165$$