{l}{4x+5y=6}{6x-7y=-20} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 6 } \\ { 6 x - 7 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-1$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+5y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-5y+6$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+6\right)$$

-5y+6 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x-7y=-20 માં x માટે -\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}\right)-7y=-20$$

-\frac{5y}{4}+\frac{3}{2} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{15}{2}y+9-7y=-20$$

-7y માં -\frac{15y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{29}{2}y+9=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{29}{2}y=-29$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{29}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{2}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{4}\times 2+\frac{3}{2}$$

2 ને -\frac{5}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-5+3}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{2} માં \frac{3}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 6}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-7\right)-5\times 6}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}&\frac{5}{58}\\\frac{3}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-20\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{58}\times 6+\frac{5}{58}\left(-20\right)\\\frac{3}{29}\times 6-\frac{2}{29}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-1,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+5y=6,6x-7y=-20$$

4x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 4x+6\times 5y=6\times 6,4\times 6x+4\left(-7\right)y=4\left(-20\right)$$

સરળ બનાવો.

$$24x+30y=36,24x-28y=-80$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 24x+30y=36માંથી 24x-28y=-80 ને ઘટાડો.

$$24x-24x+30y+28y=36+80$$

-24x માં 24x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 24x અને -24x ને વિભાજિત કરો.

$$30y+28y=36+80$$

28y માં 30y ઍડ કરો.

$$58y=36+80$$

80 માં 36 ઍડ કરો.

$$58y=116$$

બન્ને બાજુનો 58 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

6x-7y=-20માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x-7\times 2=-20$$

2 ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x-14=-20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 14 ઍડ કરો.

$$6x=-6$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-1,y=2$$