{l}{4x+5y=1}{5x-7y=1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+5y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-5y+1$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

-5y+1 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-7y=1 માં x માટે \frac{-5y+1}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

\frac{-5y+1}{4} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

-7y માં -\frac{25y}{4} ઍડ કરો.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{53}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{1}{53}$$

x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}માં y માટે \frac{1}{53} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{5}{4} નો \frac{1}{53} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{5}{212} માં \frac{1}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{12}{53}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

4x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

સરળ બનાવો.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 20x+25y=5માંથી 20x-28y=4 ને ઘટાડો.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

-20x માં 20x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 20x અને -20x ને વિભાજિત કરો.

$$25y+28y=5-4$$

28y માં 25y ઍડ કરો.

$$53y=5-4$$

-4 માં 5 ઍડ કરો.

$$53y=1$$

બન્ને બાજુનો 53 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{53}$$

5x-7y=1માં y માટે \frac{1}{53} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

\frac{1}{53} ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{7}{53} ઍડ કરો.

$$5x=\frac{60}{53}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{12}{53}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$