{l}{4x+3y=25}{x-3y/2=-14} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 25 } \\ { x - \frac { 3 y } { 2 } = - 14 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-3y=-28$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+3y=25$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-3y+25$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+25\right)$$

-3y+25 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-3y=-28 માં x માટે \frac{-3y+25}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}\right)-3y=-28$$

\frac{-3y+25}{4} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{25}{2}-3y=-28$$

-3y માં -\frac{3y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{25}{2}=-28$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{25}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{81}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{9}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=9$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{3}{4}\times 9+\frac{25}{4}$$

9 ને -\frac{3}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-27+25}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{27}{4} માં \frac{25}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-3y=-28$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-3\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\-28\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25+\frac{1}{6}\left(-28\right)\\\frac{1}{9}\times 25-\frac{2}{9}\left(-28\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-3y=-28$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+3y=25,2x-3y=-28$$

4x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 25,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-28\right)$$

સરળ બનાવો.

$$8x+6y=50,8x-12y=-112$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 8x+6y=50માંથી 8x-12y=-112 ને ઘટાડો.

$$8x-8x+6y+12y=50+112$$

-8x માં 8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8x અને -8x ને વિભાજિત કરો.

$$6y+12y=50+112$$

12y માં 6y ઍડ કરો.

$$18y=50+112$$

112 માં 50 ઍડ કરો.

$$18y=162$$

બન્ને બાજુનો 18 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=9$$

2x-3y=-28માં y માટે 9 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-3\times 9=-28$$

9 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x-27=-28$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 27 ઍડ કરો.

$$2x=-1$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{1}{2},y=9$$