{l}{4x+2y=6}{5x-3y=9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 6 } \\ { 5 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{18}{11} = 1\frac{7}{11} \approx 1.636363636$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$4x+2y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$4x=-2y+6$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+6\right)$$

-2y+6 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-3y=9 માં x માટે \frac{-y+3}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)-3y=9$$

\frac{-y+3}{2} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}-3y=9$$

-3y માં -\frac{5y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{15}{2}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{15}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{3}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{11}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{3}{11}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}માં y માટે -\frac{3}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{11}\right)+\frac{3}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{2} નો -\frac{3}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{3}{22}+\frac{3}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{3}{22} માં \frac{3}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{18}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-2\times 5}&-\frac{2}{4\left(-3\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-3\right)-2\times 5}&\frac{4}{4\left(-3\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 6+\frac{1}{11}\times 9\\\frac{5}{22}\times 6-\frac{2}{11}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\\-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4x+2y=6,5x-3y=9$$

4x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 4x+5\times 2y=5\times 6,4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$20x+10y=30,20x-12y=36$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 20x+10y=30માંથી 20x-12y=36 ને ઘટાડો.

$$20x-20x+10y+12y=30-36$$

-20x માં 20x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 20x અને -20x ને વિભાજિત કરો.

$$10y+12y=30-36$$

12y માં 10y ઍડ કરો.

$$22y=30-36$$

-36 માં 30 ઍડ કરો.

$$22y=-6$$

બન્ને બાજુનો 22 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{3}{11}$$

5x-3y=9માં y માટે -\frac{3}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-3\left(-\frac{3}{11}\right)=9$$

-\frac{3}{11} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x+\frac{9}{11}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{9}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$5x=\frac{90}{11}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{18}{11}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{18}{11},y=-\frac{3}{11}$$