{l}{4a_{1}+6d=3}{3a_{1}+21d=4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 4 a _ { 1 } + 6 d = 3 } \\ { 3 a _ { 1 } + 21 d = 4 } \end{array} \right.$$

a_1, d માટે ઉકેલો

$$a_{1}=\frac{13}{22}\approx 0.590909091$$

$$d=\frac{7}{66}\approx 0.106060606$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a_{1} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a_{1} માટે ઉકેલો.

$$4a_{1}+6d=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6d નો ઘટાડો કરો.

$$4a_{1}=-6d+3$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$a_{1}=\frac{1}{4}\left(-6d+3\right)$$

-6d+3 ને \frac{1}{4} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, 3a_{1}+21d=4 માં a_{1} માટે -\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}\right)+21d=4$$

-\frac{3d}{2}+\frac{3}{4} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{2}d+\frac{9}{4}+21d=4$$

21d માં -\frac{9d}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{33}{2}d+\frac{9}{4}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{9}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{33}{2}d=\frac{7}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{33}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$d=\frac{7}{66}$$

a_{1}=-\frac{3}{2}d+\frac{3}{4}માં d માટે \frac{7}{66} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a_{1} માટે ઉકેલો.

$$a_{1}=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{66}+\frac{3}{4}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{3}{2} નો \frac{7}{66} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a_{1}=-\frac{7}{44}+\frac{3}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{7}{44} માં \frac{3}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&6\\3&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4\times 21-6\times 3}&-\frac{6}{4\times 21-6\times 3}\\-\frac{3}{4\times 21-6\times 3}&\frac{4}{4\times 21-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}&-\frac{1}{11}\\-\frac{1}{22}&\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{22}\times 3-\frac{1}{11}\times 4\\-\frac{1}{22}\times 3+\frac{2}{33}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a_{1}\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{22}\\\frac{7}{66}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a_{1} અને d ને કાઢો.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$4a_{1}+6d=3,3a_{1}+21d=4$$

4a_{1} અને 3a_{1} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 4a_{1}+3\times 6d=3\times 3,4\times 3a_{1}+4\times 21d=4\times 4$$

સરળ બનાવો.

$$12a_{1}+18d=9,12a_{1}+84d=16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12a_{1}+18d=9માંથી 12a_{1}+84d=16 ને ઘટાડો.

$$12a_{1}-12a_{1}+18d-84d=9-16$$

-12a_{1} માં 12a_{1} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12a_{1} અને -12a_{1} ને વિભાજિત કરો.

$$18d-84d=9-16$$

-84d માં 18d ઍડ કરો.

$$-66d=9-16$$

-16 માં 9 ઍડ કરો.

$$-66d=-7$$

બન્ને બાજુનો -66 થી ભાગાકાર કરો.

$$d=\frac{7}{66}$$

3a_{1}+21d=4માં d માટે \frac{7}{66} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a_{1} માટે ઉકેલો.

$$3a_{1}+21\times \frac{7}{66}=4$$

\frac{7}{66} ને 21 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3a_{1}+\frac{49}{22}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{49}{22} નો ઘટાડો કરો.

$$3a_{1}=\frac{39}{22}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$a_{1}=\frac{13}{22}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a_{1}=\frac{13}{22},d=\frac{7}{66}$$