{l}{36x-5y=7}{6x+3y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 36 x - 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{61}{138}\approx 0.442028986$$

$$y = \frac{41}{23} = 1\frac{18}{23} \approx 1.782608696$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$36x-5y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$36x=5y+7$$

બન્ને બાજુનો 36 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{36}\left(5y+7\right)$$

5y+7 ને \frac{1}{36} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+3y=8 માં x માટે \frac{5y+7}{36} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}\right)+3y=8$$

\frac{5y+7}{36} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{5}{6}y+\frac{7}{6}+3y=8$$

3y માં \frac{5y}{6} ઍડ કરો.

$$\frac{23}{6}y+\frac{7}{6}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{6} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{23}{6}y=\frac{41}{6}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{23}{6} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{41}{23}$$

x=\frac{5}{36}y+\frac{7}{36}માં y માટે \frac{41}{23} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{36}\times \frac{41}{23}+\frac{7}{36}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{36} નો \frac{41}{23} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{205}{828}+\frac{7}{36}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{205}{828} માં \frac{7}{36} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{61}{138}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}36&-5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}&\frac{36}{36\times 3-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}&\frac{5}{138}\\-\frac{1}{23}&\frac{6}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{46}\times 7+\frac{5}{138}\times 8\\-\frac{1}{23}\times 7+\frac{6}{23}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{61}{138}\\\frac{41}{23}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$36x-5y=7,6x+3y=8$$

36x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 36 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 36x+6\left(-5\right)y=6\times 7,36\times 6x+36\times 3y=36\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$216x-30y=42,216x+108y=288$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 216x-30y=42માંથી 216x+108y=288 ને ઘટાડો.

$$216x-216x-30y-108y=42-288$$

-216x માં 216x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 216x અને -216x ને વિભાજિત કરો.

$$-30y-108y=42-288$$

-108y માં -30y ઍડ કરો.

$$-138y=42-288$$

-288 માં 42 ઍડ કરો.

$$-138y=-246$$

બન્ને બાજુનો -138 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{41}{23}$$

6x+3y=8માં y માટે \frac{41}{23} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x+3\times \frac{41}{23}=8$$

\frac{41}{23} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6x+\frac{123}{23}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{123}{23} નો ઘટાડો કરો.

$$6x=\frac{61}{23}$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{61}{138}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{61}{138},y=\frac{41}{23}$$