{l}{300x+400y=2000}{4x+5y=26} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 300 x + 400 y = 2000 } \\ { 4 x + 5 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=4$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$300x+400y=2000,4x+5y=26$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$300x+400y=2000$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 400y નો ઘટાડો કરો.

$$300x=-400y+2000$$

બન્ને બાજુનો 300 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{300}\left(-400y+2000\right)$$

-400y+2000 ને \frac{1}{300} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+5y=26 માં x માટે \frac{-4y+20}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}\right)+5y=26$$

\frac{-4y+20}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{80}{3}+5y=26$$

5y માં -\frac{16y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{80}{3}=26$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{80}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

બન્ને બાજુનો -3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=2$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{20}{3}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

2 ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-8+20}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{8}{3} માં \frac{20}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$300x+400y=2000,4x+5y=26$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}300&400\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{300\times 5-400\times 4}&-\frac{400}{300\times 5-400\times 4}\\-\frac{4}{300\times 5-400\times 4}&\frac{300}{300\times 5-400\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&4\\\frac{1}{25}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2000\\26\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 2000+4\times 26\\\frac{1}{25}\times 2000-3\times 26\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=4,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$300x+400y=2000,4x+5y=26$$

300x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 300 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 300x+4\times 400y=4\times 2000,300\times 4x+300\times 5y=300\times 26$$

સરળ બનાવો.

$$1200x+1600y=8000,1200x+1500y=7800$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 1200x+1600y=8000માંથી 1200x+1500y=7800 ને ઘટાડો.

$$1200x-1200x+1600y-1500y=8000-7800$$

-1200x માં 1200x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 1200x અને -1200x ને વિભાજિત કરો.

$$1600y-1500y=8000-7800$$

-1500y માં 1600y ઍડ કરો.

$$100y=8000-7800$$

-7800 માં 8000 ઍડ કરો.

$$100y=200$$

બન્ને બાજુનો 100 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

4x+5y=26માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+5\times 2=26$$

2 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+10=26$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=16$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=4,y=2$$