{l}{30f_{1}+40f_{2}=285}{30f_{1}+30f_{2}=+270} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 30 f _ { 1 } + 40 f _ { 2 } = 285 } \\ { 30 f _ { 1 } + 30 f _ { 2 } = + 270 } \end{array} \right.$$

f_1, f_2 માટે ઉકેલો

$$f_{1} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$f_{2} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને f_{1} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને f_{1} માટે ઉકેલો.

$$30f_{1}+40f_{2}=285$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 40f_{2} નો ઘટાડો કરો.

$$30f_{1}=-40f_{2}+285$$

બન્ને બાજુનો 30 થી ભાગાકાર કરો.

$$f_{1}=\frac{1}{30}\left(-40f_{2}+285\right)$$

-40f_{2}+285 ને \frac{1}{30} વાર ગુણાકાર કરો.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 30f_{1}+30f_{2}=270 માં f_{1} માટે -\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$30\left(-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}\right)+30f_{2}=270$$

-\frac{4f_{2}}{3}+\frac{19}{2} ને 30 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-40f_{2}+285+30f_{2}=270$$

30f_{2} માં -40f_{2} ઍડ કરો.

$$-10f_{2}+285=270$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 285 નો ઘટાડો કરો.

$$-10f_{2}=-15$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

f_{1}=-\frac{4}{3}f_{2}+\frac{19}{2}માં f_{2} માટે \frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું f_{1} માટે ઉકેલો.

$$f_{1}=-\frac{4}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{19}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{4}{3} નો \frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$f_{1}=-2+\frac{19}{2}$$

-2 માં \frac{19}{2} ઍડ કરો.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&40\\30&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&-\frac{40}{30\times 30-40\times 30}\\-\frac{30}{30\times 30-40\times 30}&\frac{30}{30\times 30-40\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{2}{15}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}285\\270\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 285+\frac{2}{15}\times 270\\\frac{1}{10}\times 285-\frac{1}{10}\times 270\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}f_{1}\\f_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો f_{1} અને f_{2} ને કાઢો.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$30f_{1}+40f_{2}=285,30f_{1}+30f_{2}=270$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 30f_{1}+40f_{2}=285માંથી 30f_{1}+30f_{2}=270 ને ઘટાડો.

$$30f_{1}-30f_{1}+40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

-30f_{1} માં 30f_{1} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 30f_{1} અને -30f_{1} ને વિભાજિત કરો.

$$40f_{2}-30f_{2}=285-270$$

-30f_{2} માં 40f_{2} ઍડ કરો.

$$10f_{2}=285-270$$

-270 માં 285 ઍડ કરો.

$$10f_{2}=15$$

બન્ને બાજુનો 10 થી ભાગાકાર કરો.

$$f_{2}=\frac{3}{2}$$

30f_{1}+30f_{2}=270માં f_{2} માટે \frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું f_{1} માટે ઉકેલો.

$$30f_{1}+30\times \frac{3}{2}=270$$

\frac{3}{2} ને 30 વાર ગુણાકાર કરો.

$$30f_{1}+45=270$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 45 નો ઘટાડો કરો.

$$30f_{1}=225$$

બન્ને બાજુનો 30 થી ભાગાકાર કરો.

$$f_{1}=\frac{15}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$f_{1}=\frac{15}{2},f_{2}=\frac{3}{2}$$