{l}{3y-6=x}{x-9=2y} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y - 6 = x } \\ { x - 9 = 2 y } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=39$$

$$y=15$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$3y-6-x=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$3y-x=6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$x-9-2y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$x-2y=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$3y-x=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ x ઍડ કરો.

$$3y=x+6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{3}\left(x+6\right)$$

x+6 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{3}x+2$$

અન્ય સમીકરણ, -2y+x=9 માં y માટે \frac{x}{3}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-2\left(\frac{1}{3}x+2\right)+x=9$$

\frac{x}{3}+2 ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{3}x-4+x=9$$

x માં -\frac{2x}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}x-4=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}x=13$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$x=39$$

y=\frac{1}{3}x+2માં x માટે 39 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=\frac{1}{3}\times 39+2$$

39 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=13+2$$

13 માં 2 ઍડ કરો.

$$y=15$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=15,x=39$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$3y-6-x=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$3y-x=6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$x-9-2y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$x-2y=9$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+9\\2\times 6+3\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\39\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=15,x=39$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી x ઘટાડો.

$$3y-6-x=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 6 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$3y-x=6$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$x-9-2y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 9 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$x-2y=9$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3y-x=6,-2y+x=9$$

3y અને -2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2\times 3y-2\left(-1\right)x=-2\times 6,3\left(-2\right)y+3x=3\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$-6y+2x=-12,-6y+3x=27$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -6y+2x=-12માંથી -6y+3x=27 ને ઘટાડો.

$$-6y+6y+2x-3x=-12-27$$

6y માં -6y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -6y અને 6y ને વિભાજિત કરો.

$$2x-3x=-12-27$$

-3x માં 2x ઍડ કરો.

$$-x=-12-27$$

-27 માં -12 ઍડ કરો.

$$-x=-39$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=39$$

-2y+x=9માં x માટે 39 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$-2y+39=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 39 નો ઘટાડો કરો.

$$-2y=-30$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=15$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=15,x=39$$