{l}{3y+x=31}{2y+3x=44} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 y + x = 31 } \\ { 2 y + 3 x = 44 } \end{array} \right.$$

y, x માટે ઉકેલો

$$x=10$$

$$y=7$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને y ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને y માટે ઉકેલો.

$$3y+x=31$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી x નો ઘટાડો કરો.

$$3y=-x+31$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{1}{3}\left(-x+31\right)$$

-x+31 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 2y+3x=44 માં y માટે \frac{-x+31}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}\right)+3x=44$$

\frac{-x+31}{3} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{62}{3}+3x=44$$

3x માં -\frac{2x}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{7}{3}x+\frac{62}{3}=44$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{62}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{7}{3}x=\frac{70}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{7}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=10$$

y=-\frac{1}{3}x+\frac{31}{3}માં x માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$y=-\frac{1}{3}\times 10+\frac{31}{3}$$

10 ને -\frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-10+31}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{10}{3} માં \frac{31}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$y=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=7,x=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{1}{3\times 3-2}\\-\frac{2}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\44\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 31-\frac{1}{7}\times 44\\-\frac{2}{7}\times 31+\frac{3}{7}\times 44\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો y અને x ને કાઢો.

$$y=7,x=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3y+x=31,2y+3x=44$$

3y અને 2y ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 3y+2x=2\times 31,3\times 2y+3\times 3x=3\times 44$$

સરળ બનાવો.

$$6y+2x=62,6y+9x=132$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6y+2x=62માંથી 6y+9x=132 ને ઘટાડો.

$$6y-6y+2x-9x=62-132$$

-6y માં 6y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6y અને -6y ને વિભાજિત કરો.

$$2x-9x=62-132$$

-9x માં 2x ઍડ કરો.

$$-7x=62-132$$

-132 માં 62 ઍડ કરો.

$$-7x=-70$$

બન્ને બાજુનો -7 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=10$$

2y+3x=44માં x માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$2y+3\times 10=44$$

10 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2y+30=44$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 30 નો ઘટાડો કરો.

$$2y=14$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$y=7,x=10$$