{l}{3x-y=17}{-x+y=-7} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - y = 17 } \\ { - x + y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=5$$

$$y=-2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-y=17,-x+y=-7$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-y=17$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$3x=y+17$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+17\right)$$

y+17 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{17}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -x+y=-7 માં x માટે \frac{17+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(\frac{1}{3}y+\frac{17}{3}\right)+y=-7$$

\frac{17+y}{3} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{17}{3}+y=-7$$

y માં -\frac{y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{2}{3}y-\frac{17}{3}=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{17}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{4}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{2}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{17}{3}માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{17}{3}$$

-2 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-2+17}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{2}{3} માં \frac{17}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-y=17,-x+y=-7$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-7\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 17+\frac{1}{2}\left(-7\right)\\\frac{1}{2}\times 17+\frac{3}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=5,y=-2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-y=17,-x+y=-7$$

3x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3x-\left(-y\right)=-17,3\left(-1\right)x+3y=3\left(-7\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-3x+y=-17,-3x+3y=-21$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3x+y=-17માંથી -3x+3y=-21 ને ઘટાડો.

$$-3x+3x+y-3y=-17+21$$

3x માં -3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3x અને 3x ને વિભાજિત કરો.

$$y-3y=-17+21$$

-3y માં y ઍડ કરો.

$$-2y=-17+21$$

21 માં -17 ઍડ કરો.

$$-2y=4$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-2$$

-x+y=-7માં y માટે -2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x-2=-7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$-x=-5$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=5,y=-2$$