{l}{3x-6y=5}{4x-3y=5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 6 y = 5 } \\ { 4 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=1$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-6y=5,4x-3y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-6y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6y ઍડ કરો.

$$3x=6y+5$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y+5\right)$$

6y+5 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=2y+\frac{5}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x-3y=5 માં x માટે 2y+\frac{5}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(2y+\frac{5}{3}\right)-3y=5$$

2y+\frac{5}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$8y+\frac{20}{3}-3y=5$$

-3y માં 8y ઍડ કરો.

$$5y+\frac{20}{3}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{20}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$5y=-\frac{5}{3}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=2y+\frac{5}{3}માં y માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-2+5}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{2}{3} માં \frac{5}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-\frac{1}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-6y=5,4x-3y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{3\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{4}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\\-\frac{4}{15}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=1,y=-\frac{1}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-6y=5,4x-3y=5$$

3x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 3x+4\left(-6\right)y=4\times 5,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$12x-24y=20,12x-9y=15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12x-24y=20માંથી 12x-9y=15 ને ઘટાડો.

$$12x-12x-24y+9y=20-15$$

-12x માં 12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12x અને -12x ને વિભાજિત કરો.

$$-24y+9y=20-15$$

9y માં -24y ઍડ કરો.

$$-15y=20-15$$

-15 માં 20 ઍડ કરો.

$$-15y=5$$

બન્ને બાજુનો -15 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x-3y=5માં y માટે -\frac{1}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x-3\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

-\frac{1}{3} ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+1=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$4x=4$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=1$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=1,y=-\frac{1}{3}$$