{l}{3x-5y=-6}{2x-3y=-5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-7$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-5y=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$3x=5y-6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-6\right)$$

5y-6 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{3}y-2$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-3y=-5 માં x માટે \frac{5y}{3}-2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{5}{3}y-2\right)-3y=-5$$

\frac{5y}{3}-2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{10}{3}y-4-3y=-5$$

-3y માં \frac{10y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y-4=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4 ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=\frac{5}{3}y-2માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{3}\left(-3\right)-2$$

-3 ને \frac{5}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-5-2$$

-5 માં -2 ઍડ કરો.

$$x=-7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-7,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-6\right)+5\left(-5\right)\\-2\left(-6\right)+3\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-7,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-5y=-6,2x-3y=-5$$

3x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-6\right),3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$6x-10y=-12,6x-9y=-15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x-10y=-12માંથી 6x-9y=-15 ને ઘટાડો.

$$6x-6x-10y+9y=-12+15$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$-10y+9y=-12+15$$

9y માં -10y ઍડ કરો.

$$-y=-12+15$$

15 માં -12 ઍડ કરો.

$$-y=3$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

2x-3y=-5માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-3\left(-3\right)=-5$$

-3 ને -3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+9=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-14$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-7,y=-3$$