{l}{3x-4y=12}{y=-3x-3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 12 } \\ { y = - 3 x - 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=0$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$y+3x=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-4y=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 4y ઍડ કરો.

$$3x=4y+12$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+12\right)$$

12+4y ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{4}{3}y+4$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+y=-3 માં x માટે 4+\frac{4y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{4}{3}y+4\right)+y=-3$$

4+\frac{4y}{3} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4y+12+y=-3$$

y માં 4y ઍડ કરો.

$$5y+12=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 12 નો ઘટાડો કરો.

$$5y=-15$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=\frac{4}{3}y+4માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{4}{3}\left(-3\right)+4$$

-3 ને \frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-4+4$$

-4 માં 4 ઍડ કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$y+3x=-3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 12+\frac{4}{15}\left(-3\right)\\-\frac{1}{5}\times 12+\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=0,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 3x ઍડ કરો.

$$y+3x=-3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-4y=12,3x+y=-3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-4y=12માંથી 3x+y=-3 ને ઘટાડો.

$$3x-3x-4y-y=12+3$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$-4y-y=12+3$$

-y માં -4y ઍડ કરો.

$$-5y=12+3$$

3 માં 12 ઍડ કરો.

$$-5y=15$$

બન્ને બાજુનો -5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

3x+y=-3માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-3=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3 ઍડ કરો.

$$3x=0$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-3$$