{l}{3x-2y=6}{x/3-y/6=1/2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 6 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=0$$

$$y=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,6,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x-y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-2y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2y ઍડ કરો.

$$3x=2y+6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

6+2y ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 2x-y=3 માં x માટે \frac{2y}{3}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)-y=3$$

\frac{2y}{3}+2 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{4}{3}y+4-y=3$$

-y માં \frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{1}{3}y+4=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{1}{3}y=-1$$

બન્ને બાજુનો 3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-3$$

x=\frac{2}{3}y+2માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{2}{3}\left(-3\right)+2$$

-3 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2+2$$

-2 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,6,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x-y=3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6+2\times 3\\-2\times 6+3\times 3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=0,y=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. સમીકરણની બન્ને બાજુઓનો 6 દ્વારા ગુણાકાર કરો, 3,6,2 ના સૌથી ઓછા સામાન્ય ભાજક.

$$2x-y=3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-2y=6,2x-y=3$$

3x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

સરળ બનાવો.

$$6x-4y=12,6x-3y=9$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x-4y=12માંથી 6x-3y=9 ને ઘટાડો.

$$6x-6x-4y+3y=12-9$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$-4y+3y=12-9$$

3y માં -4y ઍડ કરો.

$$-y=12-9$$

-9 માં 12 ઍડ કરો.

$$-y=3$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-3$$

2x-y=3માં y માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x-\left(-3\right)=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3 નો ઘટાડો કરો.

$$2x=0$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=0,y=-3$$