{l}{3x+y=5}{7x+y=6} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 7 x + y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-y+5$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

-y+5 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 7x+y=6 માં x માટે \frac{-y+5}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$7\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+y=6$$

\frac{-y+5}{3} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{35}{3}+y=6$$

y માં -\frac{7y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{35}{3}=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{35}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{17}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{4}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{17}{4}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}માં y માટે \frac{17}{4} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{17}{4}+\frac{5}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{3} નો \frac{17}{4} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{17}{12} માં \frac{5}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{3}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 6\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+y=5,7x+y=6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+y=5માંથી 7x+y=6 ને ઘટાડો.

$$3x-7x+y-y=5-6$$

-y માં y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો y અને -y ને વિભાજિત કરો.

$$3x-7x=5-6$$

-7x માં 3x ઍડ કરો.

$$-4x=5-6$$

-6 માં 5 ઍડ કરો.

$$-4x=-1$$

બન્ને બાજુનો -4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}$$

7x+y=6માં x માટે \frac{1}{4} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$7\times \frac{1}{4}+y=6$$

\frac{1}{4} ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{7}{4}+y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$y=\frac{17}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{17}{4}$$