{l}{3x+7y=63}{2x+4y=38} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 63 } \\ { 2 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=7$$

$$y=6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+7y=63$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-7y+63$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+63\right)$$

-7y+63 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{3}y+21$$

અન્ય સમીકરણ, 2x+4y=38 માં x માટે -\frac{7y}{3}+21 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{7}{3}y+21\right)+4y=38$$

-\frac{7y}{3}+21 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{14}{3}y+42+4y=38$$

4y માં -\frac{14y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{2}{3}y+42=38$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 42 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{2}{3}y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{2}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=6$$

x=-\frac{7}{3}y+21માં y માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{3}\times 6+21$$

6 ને -\frac{7}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-14+21$$

-14 માં 21 ઍડ કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=6$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-7\times 2}&-\frac{7}{3\times 4-7\times 2}\\-\frac{2}{3\times 4-7\times 2}&\frac{3}{3\times 4-7\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&\frac{7}{2}\\1&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\38\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 63+\frac{7}{2}\times 38\\63-\frac{3}{2}\times 38\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=7,y=6$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+7y=63,2x+4y=38$$

3x અને 2x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 3x+2\times 7y=2\times 63,3\times 2x+3\times 4y=3\times 38$$

સરળ બનાવો.

$$6x+14y=126,6x+12y=114$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x+14y=126માંથી 6x+12y=114 ને ઘટાડો.

$$6x-6x+14y-12y=126-114$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$14y-12y=126-114$$

-12y માં 14y ઍડ કરો.

$$2y=126-114$$

-114 માં 126 ઍડ કરો.

$$2y=12$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=6$$

2x+4y=38માં y માટે 6 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$2x+4\times 6=38$$

6 ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$2x+24=38$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 24 નો ઘટાડો કરો.

$$2x=14$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=7$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=7,y=6$$