{l}{3x+7y=6}{x+3y=12} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 7 y = 6 } \\ { x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-33$$

$$y=15$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+7y=6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 7y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-7y+6$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+6\right)$$

-7y+6 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{7}{3}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, x+3y=12 માં x માટે -\frac{7y}{3}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{7}{3}y+2+3y=12$$

3y માં -\frac{7y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{2}{3}y+2=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{2}{3}y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{2}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=15$$

x=-\frac{7}{3}y+2માં y માટે 15 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{7}{3}\times 15+2$$

15 ને -\frac{7}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-35+2$$

-35 માં 2 ઍડ કરો.

$$x=-33$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-33,y=15$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-7}&-\frac{7}{3\times 3-7}\\-\frac{1}{3\times 3-7}&\frac{3}{3\times 3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{7}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 6-\frac{7}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{3}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-33,y=15$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+7y=6,x+3y=12$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+7y=6,3x+3\times 3y=3\times 12$$

સરળ બનાવો.

$$3x+7y=6,3x+9y=36$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+7y=6માંથી 3x+9y=36 ને ઘટાડો.

$$3x-3x+7y-9y=6-36$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$7y-9y=6-36$$

-9y માં 7y ઍડ કરો.

$$-2y=6-36$$

-36 માં 6 ઍડ કરો.

$$-2y=-30$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=15$$

x+3y=12માં y માટે 15 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+3\times 15=12$$

15 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x+45=12$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 45 નો ઘટાડો કરો.

$$x=-33$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-33,y=15$$