{l}{3x+5y=0}{6x+y=5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 0 } \\ { 6 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{25}{27}\approx 0.925925926$$

$$y=-\frac{5}{9}\approx -0.555555556$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+5y=0,6x+y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+5y=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-5y$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5\right)y$$

-5y ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{3}y$$

અન્ય સમીકરણ, 6x+y=5 માં x માટે -\frac{5y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$6\left(-\frac{5}{3}\right)y+y=5$$

-\frac{5y}{3} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10y+y=5$$

y માં -10y ઍડ કરો.

$$-9y=5$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{9}$$

x=-\frac{5}{3}yમાં y માટે -\frac{5}{9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{9}\right)$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{5}{3} નો -\frac{5}{9} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{25}{27}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{27},y=-\frac{5}{9}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+5y=0,6x+y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 6}&-\frac{5}{3-5\times 6}\\-\frac{6}{3-5\times 6}&\frac{3}{3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{5}{27}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{27}\times 5\\-\frac{1}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{27}\\-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{25}{27},y=-\frac{5}{9}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+5y=0,6x+y=5$$

3x અને 6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$6\times 3x+6\times 5y=0,3\times 6x+3y=3\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$18x+30y=0,18x+3y=15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 18x+30y=0માંથી 18x+3y=15 ને ઘટાડો.

$$18x-18x+30y-3y=-15$$

-18x માં 18x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 18x અને -18x ને વિભાજિત કરો.

$$30y-3y=-15$$

-3y માં 30y ઍડ કરો.

$$27y=-15$$

બન્ને બાજુનો 27 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{9}$$

6x+y=5માં y માટે -\frac{5}{9} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$6x-\frac{5}{9}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{9} ઍડ કરો.

$$6x=\frac{50}{9}$$

બન્ને બાજુનો 6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{25}{27}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{27},y=-\frac{5}{9}$$