{l}{3x+5y=-24}{-5x+2y=-22x} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 24 } \\ { - 5 x + 2 y = - 22 x } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{48}{79}\approx 0.607594937$$

$$y = -\frac{408}{79} = -5\frac{13}{79} \approx -5.164556962$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 22x ઍડ કરો.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x ને મેળવવા માટે -5x અને 22x ને એકસાથે કરો.

$$17x+2y=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+5y=-24$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-5y-24$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-24\right)$$

-5y-24 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{5}{3}y-8$$

અન્ય સમીકરણ, 17x+2y=0 માં x માટે -\frac{5y}{3}-8 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$17\left(-\frac{5}{3}y-8\right)+2y=0$$

-\frac{5y}{3}-8 ને 17 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{85}{3}y-136+2y=0$$

2y માં -\frac{85y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{79}{3}y-136=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 136 ઍડ કરો.

$$-\frac{79}{3}y=136$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{79}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{408}{79}$$

x=-\frac{5}{3}y-8માં y માટે -\frac{408}{79} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-\frac{408}{79}\right)-8$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{5}{3} નો -\frac{408}{79} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{680}{79}-8$$

\frac{680}{79} માં -8 ઍડ કરો.

$$x=\frac{48}{79}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 22x ઍડ કરો.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x ને મેળવવા માટે -5x અને 22x ને એકસાથે કરો.

$$17x+2y=0$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\17&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-5\times 17}&-\frac{5}{3\times 2-5\times 17}\\-\frac{17}{3\times 2-5\times 17}&\frac{3}{3\times 2-5\times 17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}&\frac{5}{79}\\\frac{17}{79}&-\frac{3}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\0\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{79}\left(-24\right)\\\frac{17}{79}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{79}\\-\frac{408}{79}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 22x ઍડ કરો.

$$-5x+2y+22x=0$$

17x ને મેળવવા માટે -5x અને 22x ને એકસાથે કરો.

$$17x+2y=0$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+5y=-24,17x+2y=0$$

3x અને 17x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 17 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$17\times 3x+17\times 5y=17\left(-24\right),3\times 17x+3\times 2y=0$$

સરળ બનાવો.

$$51x+85y=-408,51x+6y=0$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 51x+85y=-408માંથી 51x+6y=0 ને ઘટાડો.

$$51x-51x+85y-6y=-408$$

-51x માં 51x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 51x અને -51x ને વિભાજિત કરો.

$$85y-6y=-408$$

-6y માં 85y ઍડ કરો.

$$79y=-408$$

બન્ને બાજુનો 79 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{408}{79}$$

17x+2y=0માં y માટે -\frac{408}{79} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$17x+2\left(-\frac{408}{79}\right)=0$$

-\frac{408}{79} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$17x-\frac{816}{79}=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{816}{79} ઍડ કરો.

$$17x=\frac{816}{79}$$

બન્ને બાજુનો 17 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{48}{79}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{48}{79},y=-\frac{408}{79}$$