{l}{3x+4y=85}{x+y=25} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 85 } \\ { x + y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=15$$

$$y=10$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+4y=85$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-4y+85$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+85\right)$$

-4y+85 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=25 માં x માટે \frac{-4y+85}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}+y=25$$

y માં -\frac{4y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{85}{3}=25$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{85}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{10}{3}$$

બન્ને બાજુનો -3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=10$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{85}{3}માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{3}\times 10+\frac{85}{3}$$

10 ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-40+85}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{40}{3} માં \frac{85}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=15$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=15,y=10$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{3}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&4\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}85\\25\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85+4\times 25\\85-3\times 25\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=15,y=10$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+4y=85,x+y=25$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+4y=85,3x+3y=3\times 25$$

સરળ બનાવો.

$$3x+4y=85,3x+3y=75$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+4y=85માંથી 3x+3y=75 ને ઘટાડો.

$$3x-3x+4y-3y=85-75$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$4y-3y=85-75$$

-3y માં 4y ઍડ કરો.

$$y=85-75$$

-75 માં 85 ઍડ કરો.

$$y=10$$

x+y=25માં y માટે 10 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+10=25$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$x=15$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=15,y=10$$