{l}{3x+4y=1}{4x+y=2} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 1 } \\ { 4 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{7}{13}\approx 0.538461538$$

$$y=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+4y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-4y+1$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+1\right)$$

-4y+1 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+y=2 માં x માટે \frac{-4y+1}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)+y=2$$

\frac{-4y+1}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{4}{3}+y=2$$

y માં -\frac{16y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{4}{3}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{13}{3}y=\frac{2}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{13}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{2}{13}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}માં y માટે -\frac{2}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{2}{13}\right)+\frac{1}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{4}{3} નો -\frac{2}{13} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{8}{39}+\frac{1}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{8}{39} માં \frac{1}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{7}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 4}&-\frac{4}{3-4\times 4}\\-\frac{4}{3-4\times 4}&\frac{3}{3-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}+\frac{4}{13}\times 2\\\frac{4}{13}-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{13}\\-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+4y=1,4x+y=2$$

3x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 3x+4\times 4y=4,3\times 4x+3y=3\times 2$$

સરળ બનાવો.

$$12x+16y=4,12x+3y=6$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12x+16y=4માંથી 12x+3y=6 ને ઘટાડો.

$$12x-12x+16y-3y=4-6$$

-12x માં 12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12x અને -12x ને વિભાજિત કરો.

$$16y-3y=4-6$$

-3y માં 16y ઍડ કરો.

$$13y=4-6$$

-6 માં 4 ઍડ કરો.

$$13y=-2$$

બન્ને બાજુનો 13 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{2}{13}$$

4x+y=2માં y માટે -\frac{2}{13} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x-\frac{2}{13}=2$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{2}{13} ઍડ કરો.

$$4x=\frac{28}{13}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{7}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{7}{13},y=-\frac{2}{13}$$