{l}{3x+4y+m=0}{9x^2+16y^2=144} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y + m = 0 } \\ { 9 x ^ { 2 } + 16 y ^ { 2 } = 144 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો (જટિલ સમાધાન)

$$x=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

$$x=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે 3x+4y+m=0 ને ઉકેલો.

$$3x+4y+m=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી m નો ઘટાડો કરો.

$$3x+4y=-m$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-4y-m$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 16y^{2}+9x^{2}=144 માં x માટે -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$16y^{2}+9\left(-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

વર્ગ -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}.

$$16y^{2}+9\left(\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}\right)=144$$

\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$16y^{2}+16y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

16y^{2} માં 16y^{2} ઍડ કરો.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 144 નો ઘટાડો કરો.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}-144=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને, b માટે 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right) ને, અને c માટે -144+m^{2} ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

વર્ગ 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right).

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-128\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

-144+m^{2} ને -128 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}[phone]m^{2}}}{2\times 32}$$

18432-128m^{2} માં 64m^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{18432-64m^{2}}}{2\times 32}$$

18432-64m^{2} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±8\sqrt{288-m^{2}}}{2\times 32}$$

16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64}$$

હવે y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 8\sqrt{288-m^{2}} માં -8m ઍડ કરો.

$$y=\frac{8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

-8m+8\sqrt{288-m^{2}} નો 64 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

હવે y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -8m માંથી 8\sqrt{288-m^{2}} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

-8m-8\sqrt{288-m^{2}} નો 64 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} અને \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} માં y માટે \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

\frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

હવે સમીકરણ x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} માં \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

\frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8} ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{ or }x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

$$x=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{6}\text{, }y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{, }|m|\leq 12\sqrt{2}$$

પ્રતિસ્થાપન અને ચતુર્વર્ગીય સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પગલા

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+4y+m=0,16y^{2}+9x^{2}=144$$

બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ x આઇસોલેટ કરીને x માટે 3x+4y+m=0 ને ઉકેલો.

$$3x+4y+m=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી m નો ઘટાડો કરો.

$$3x+4y=-m$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-4y-m$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 16y^{2}+9x^{2}=144 માં x માટે -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$16y^{2}+9\left(-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

વર્ગ -\frac{4}{3}y-\frac{m}{3}.

$$16y^{2}+9\left(\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}\right)=144$$

\frac{16}{9}y^{2}+\left(-\frac{8}{3}\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+\left(-\frac{m}{3}\right)^{2} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$16y^{2}+16y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

16y^{2} માં 16y^{2} ઍડ કરો.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}=144$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 144 નો ઘટાડો કરો.

$$32y^{2}+\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)y+9\left(-\frac{m}{3}\right)^{2}-144=0$$

આ સમીકરણ માનક ફૉર્મમાં છે: ax^{2}+bx+c=0. ચતુર્વર્ગીય સૂત્ર \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} માં, a માટે 16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને, b માટે 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right) ને, અને c માટે -144+m^{2} ને બદલીને મૂકો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

વર્ગ 9\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2\left(-\frac{m}{3}\right).

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-4\times 32\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}-128\left(m^{2}-144\right)}}{2\times 32}$$

-144+m^{2} ને -128 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{64m^{2}[phone]m^{2}}}{2\times 32}$$

18432-128m^{2} માં 64m^{2} ઍડ કરો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±\sqrt{18432-64m^{2}}}{2\times 32}$$

18432-64m^{2} નો વર્ગ મૂળ લો.

$$y=\frac{-\left(-24\left(-\frac{m}{3}\right)\right)±8\sqrt{288-m^{2}}}{2\times 32}$$

16+9\left(-\frac{4}{3}\right)^{2} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64}$$

હવે y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ધન હોય. 8\sqrt{288-m^{2}} માં -8m ઍડ કરો.

$$y=\frac{8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

-8m+8\sqrt{288-m^{2}} નો 64 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

હવે y=\frac{-8m±8\sqrt{288-m^{2}}}{64} સમીકરણને ઉકેલો, જ્યારે ± ઋણ હોય. -8m માંથી 8\sqrt{288-m^{2}} ને ઘટાડો.

$$y=\frac{-8\sqrt{288-m^{2}}-8m}{64}$$

-8m-8\sqrt{288-m^{2}} નો 64 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$

y માટે બે ઉકેલ છે: \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} અને \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8}. x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે સમીકરણ x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} માં y માટે \frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} નું પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

\frac{-m+\sqrt{288-m^{2}}}{8} ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

હવે સમીકરણ x=-\frac{4}{3}y-\frac{m}{3} માં \frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8} માટે y ને પ્રતિસ્થાપન કરો અને x માટે સંબંધિત ઉકેલ શોધવા માટે ઉકેલો જે બન્ને સમીકરણોને સંતુષ્ઠ કરે છે.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-\frac{m}{3}$$

\frac{-m-\sqrt{288-m^{2}}}{8} ને -\frac{4}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{-4\times \frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}\text{ or }x=\frac{-4\times \frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}-m}{3},y=\frac{-\sqrt{288-m^{2}}-m}{8}$$