{l}{3x+4=y}{9x-5=y} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 = y } \\ { 9 x - 5 = y } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{17}{2} = 8\frac{1}{2} = 8.5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+4-y=0$$

બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x-y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$9x-5-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$9x-y=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$3x=y-4$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-4\right)$$

y-4 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 9x-y=5 માં x માટે \frac{-4+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=5$$

\frac{-4+y}{3} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3y-12-y=5$$

-y માં 3y ઍડ કરો.

$$2y-12=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 12 ઍડ કરો.

$$2y=17$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{17}{2}$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{4}{3}માં y માટે \frac{17}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{17}{2}-\frac{4}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{3} નો \frac{17}{2} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{17}{6}-\frac{4}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{17}{6} માં -\frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{3}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+4-y=0$$

બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x-y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$9x-5-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$9x-y=5$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\9&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 5\\-\frac{3}{2}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{17}{2}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x+4-y=0$$

બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x-y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$9x-5-y=0$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો. કંઈપણ વત્તા શૂન્ય સ્વયંને આપે છે.

$$9x-y=5$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-y=-4,9x-y=5$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x-y=-4માંથી 9x-y=5 ને ઘટાડો.

$$3x-9x-y+y=-4-5$$

y માં -y ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -y અને y ને વિભાજિત કરો.

$$3x-9x=-4-5$$

-9x માં 3x ઍડ કરો.

$$-6x=-4-5$$

-5 માં -4 ઍડ કરો.

$$-6x=-9$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}$$

9x-y=5માં x માટે \frac{3}{2} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું y માટે ઉકેલો.

$$9\times \frac{3}{2}-y=5$$

\frac{3}{2} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{27}{2}-y=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{27}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$-y=-\frac{17}{2}$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{17}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{17}{2}$$