{l}{3x+2y=7}{5x-2y=-5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 5 x - 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = \frac{25}{8} = 3\frac{1}{8} = 3.125$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y+7$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

-2y+7 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 5x-2y=-5 માં x માટે \frac{-2y+7}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)-2y=-5$$

\frac{-2y+7}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{35}{3}-2y=-5$$

-2y માં -\frac{10y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{35}{3}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{35}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{50}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{16}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{25}{8}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}માં y માટે \frac{25}{8} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{25}{8}+\frac{7}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{3} નો \frac{25}{8} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{25}{12}+\frac{7}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{25}{12} માં \frac{7}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{1}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\left(-5\right)\\\frac{5}{16}\times 7-\frac{3}{16}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\\frac{25}{8}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=7,5x-2y=-5$$

3x અને 5x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 7,3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\left(-5\right)$$

સરળ બનાવો.

$$15x+10y=35,15x-6y=-15$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15x+10y=35માંથી 15x-6y=-15 ને ઘટાડો.

$$15x-15x+10y+6y=35+15$$

-15x માં 15x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15x અને -15x ને વિભાજિત કરો.

$$10y+6y=35+15$$

6y માં 10y ઍડ કરો.

$$16y=35+15$$

15 માં 35 ઍડ કરો.

$$16y=50$$

બન્ને બાજુનો 16 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{25}{8}$$

5x-2y=-5માં y માટે \frac{25}{8} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5x-2\times \frac{25}{8}=-5$$

\frac{25}{8} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5x-\frac{25}{4}=-5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{25}{4} ઍડ કરો.

$$5x=\frac{5}{4}$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{4}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{1}{4},y=\frac{25}{8}$$