{l}{3x+2y=7}{4x+6y=13} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 7 } \\ { 4 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y+7$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)$$

-2y+7 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+6y=13 માં x માટે \frac{-2y+7}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+6y=13$$

\frac{-2y+7}{3} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{28}{3}+6y=13$$

6y માં -\frac{8y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{28}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{10}{3}y=\frac{11}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{10}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{11}{10}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}માં y માટે \frac{11}{10} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{11}{10}+\frac{7}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{2}{3} નો \frac{11}{10} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{11}{15} માં \frac{7}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{8}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-2\times 4}&-\frac{2}{3\times 6-2\times 4}\\-\frac{4}{3\times 6-2\times 4}&\frac{3}{3\times 6-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 13\\-\frac{2}{5}\times 7+\frac{3}{10}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{11}{10}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=7,4x+6y=13$$

3x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 7,3\times 4x+3\times 6y=3\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$12x+8y=28,12x+18y=39$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 12x+8y=28માંથી 12x+18y=39 ને ઘટાડો.

$$12x-12x+8y-18y=28-39$$

-12x માં 12x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 12x અને -12x ને વિભાજિત કરો.

$$8y-18y=28-39$$

-18y માં 8y ઍડ કરો.

$$-10y=28-39$$

-39 માં 28 ઍડ કરો.

$$-10y=-11$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{11}{10}$$

4x+6y=13માં y માટે \frac{11}{10} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x+6\times \frac{11}{10}=13$$

\frac{11}{10} ને 6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x+\frac{33}{5}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{33}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$4x=\frac{32}{5}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{8}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{11}{10}$$