{l}{3x+2y=3}{x-y=21} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 3 } \\ { x - y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=9$$

$$y=-12$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y+3$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+3\right)$$

-2y+3 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y+1$$

અન્ય સમીકરણ, x-y=21 માં x માટે -\frac{2y}{3}+1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\frac{2}{3}y+1-y=21$$

-y માં -\frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{3}y+1=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 1 નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{5}{3}y=20$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-12$$

x=-\frac{2}{3}y+1માં y માટે -12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-12\right)+1$$

-12 ને -\frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=8+1$$

8 માં 1 ઍડ કરો.

$$x=9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=9,y=-12$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\21\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{2}{5}\times 21\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{3}{5}\times 21\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-12\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=9,y=-12$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=3,x-y=21$$

3x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3x+2y=3,3x+3\left(-1\right)y=3\times 21$$

સરળ બનાવો.

$$3x+2y=3,3x-3y=63$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3x+2y=3માંથી 3x-3y=63 ને ઘટાડો.

$$3x-3x+2y+3y=3-63$$

-3x માં 3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3x અને -3x ને વિભાજિત કરો.

$$2y+3y=3-63$$

3y માં 2y ઍડ કરો.

$$5y=3-63$$

-63 માં 3 ઍડ કરો.

$$5y=-60$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-12$$

x-y=21માં y માટે -12 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x-\left(-12\right)=21$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 12 નો ઘટાડો કરો.

$$x=9$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=9,y=-12$$