{l}{3x+2y+4=0}{x(2x-1)-x^2+y=x^2+2y+3} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 2 y + 4 = 0 } \\ { x ( 2 x - 1 ) - x ^ { 2 } + y = x ^ { 2 } + 2 y + 3 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=2$$

$$y=-5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x+2y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x સાથે 2x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

x^{2} ને મેળવવા માટે 2x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

બન્ને બાજુથી x^{2} ઘટાડો.

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

0 ને મેળવવા માટે x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$-x+y=2y+3$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$-x+y-2y=3$$

-y ને મેળવવા માટે y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$-x-y=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+2y=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 2y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-2y-4$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y-4\right)$$

-2y-4 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -x-y=3 માં x માટે \frac{-2y-4}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}\right)-y=3$$

\frac{-2y-4}{3} ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}-y=3$$

-y માં \frac{2y}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{4}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{3}$$

બન્ને બાજુનો -3 દ્વારા ગુણાકાર કરો.

$$y=-5$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}માં y માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-5\right)-\frac{4}{3}$$

-5 ને -\frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{10-4}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{10}{3} માં -\frac{4}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=-5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x+2y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x સાથે 2x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

x^{2} ને મેળવવા માટે 2x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

બન્ને બાજુથી x^{2} ઘટાડો.

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

0 ને મેળવવા માટે x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$-x+y=2y+3$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$-x+y-2y=3$$

-y ને મેળવવા માટે y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$-x-y=3$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\-1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&2\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+2\times 3\\-\left(-4\right)-3\times 3\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=2,y=-5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બન્ને બાજુથી 4 ઘટાડો. કંઈપણને શૂન્યમાંથી બાદ કરવાથી તેનું નકારાત્મક આપે છે.

$$3x+2y=-4$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. x સાથે 2x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$2x^{2}-x-x^{2}+y=x^{2}+2y+3$$

x^{2} ને મેળવવા માટે 2x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$x^{2}-x+y=x^{2}+2y+3$$

બન્ને બાજુથી x^{2} ઘટાડો.

$$x^{2}-x+y-x^{2}=2y+3$$

0 ને મેળવવા માટે x^{2} અને -x^{2} ને એકસાથે કરો.

$$-x+y=2y+3$$

બન્ને બાજુથી 2y ઘટાડો.

$$-x+y-2y=3$$

-y ને મેળવવા માટે y અને -2y ને એકસાથે કરો.

$$-x-y=3$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+2y=-4,-x-y=3$$

3x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-3x-2y=-\left(-4\right),3\left(-1\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

સરળ બનાવો.

$$-3x-2y=4,-3x-3y=9$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -3x-2y=4માંથી -3x-3y=9 ને ઘટાડો.

$$-3x+3x-2y+3y=4-9$$

3x માં -3x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -3x અને 3x ને વિભાજિત કરો.

$$-2y+3y=4-9$$

3y માં -2y ઍડ કરો.

$$y=4-9$$

-9 માં 4 ઍડ કરો.

$$y=-5$$

-x-y=3માં y માટે -5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x-\left(-5\right)=3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5 નો ઘટાડો કરો.

$$-x=-2$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=2$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=2,y=-5$$