{l}{3x+10y=11}{-10x-8y=14} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 10 y = 11 } \\ { - 10 x - 8 y = 14 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-3$$

$$y=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x+10y=11$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10y નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-10y+11$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+11\right)$$

-10y+11 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -10x-8y=14 માં x માટે \frac{-10y+11}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-10\left(-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}\right)-8y=14$$

\frac{-10y+11}{3} ને -10 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{100}{3}y-\frac{110}{3}-8y=14$$

-8y માં \frac{100y}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{76}{3}y-\frac{110}{3}=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{110}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{76}{3}y=\frac{152}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{76}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=2$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{11}{3}માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+\frac{11}{3}$$

2 ને -\frac{10}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{-20+11}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{20}{3} માં \frac{11}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-10&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}&-\frac{5}{38}\\\frac{5}{38}&\frac{3}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{19}\times 11-\frac{5}{38}\times 14\\\frac{5}{38}\times 11+\frac{3}{76}\times 14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-3,y=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x+10y=11,-10x-8y=14$$

3x અને -10x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -10 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-10\times 3x-10\times 10y=-10\times 11,3\left(-10\right)x+3\left(-8\right)y=3\times 14$$

સરળ બનાવો.

$$-30x-100y=-110,-30x-24y=42$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -30x-100y=-110માંથી -30x-24y=42 ને ઘટાડો.

$$-30x+30x-100y+24y=-110-42$$

30x માં -30x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -30x અને 30x ને વિભાજિત કરો.

$$-100y+24y=-110-42$$

24y માં -100y ઍડ કરો.

$$-76y=-110-42$$

-42 માં -110 ઍડ કરો.

$$-76y=-152$$

બન્ને બાજુનો -76 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=2$$

-10x-8y=14માં y માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-10x-8\times 2=14$$

2 ને -8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-10x-16=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 16 ઍડ કરો.

$$-10x=30$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-3,y=2$$