{l}{3w-2z=5}{w+2z=15} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 w - 2 z = 5 } \\ { w + 2 z = 15 } \end{array} \right.$$

w, z માટે ઉકેલો

$$z=5$$

$$w=5$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને w ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને w માટે ઉકેલો.

$$3w-2z=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2z ઍડ કરો.

$$3w=2z+5$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$w=\frac{1}{3}\left(2z+5\right)$$

2z+5 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, w+2z=15 માં w માટે \frac{2z+5}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}+2z=15$$

2z માં \frac{2z}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{8}{3}z+\frac{5}{3}=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{5}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{8}{3}z=\frac{40}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{8}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$z=5$$

w=\frac{2}{3}z+\frac{5}{3}માં z માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું w માટે ઉકેલો.

$$w=\frac{2}{3}\times 5+\frac{5}{3}$$

5 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$w=\frac{10+5}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{10}{3} માં \frac{5}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$w=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$w=5,z=5$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 15\\-\frac{1}{8}\times 5+\frac{3}{8}\times 15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો w અને z ને કાઢો.

$$w=5,z=5$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3w-2z=5,w+2z=15$$

3w અને w ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3w-2z=5,3w+3\times 2z=3\times 15$$

સરળ બનાવો.

$$3w-2z=5,3w+6z=45$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3w-2z=5માંથી 3w+6z=45 ને ઘટાડો.

$$3w-3w-2z-6z=5-45$$

-3w માં 3w ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 3w અને -3w ને વિભાજિત કરો.

$$-2z-6z=5-45$$

-6z માં -2z ઍડ કરો.

$$-8z=5-45$$

-45 માં 5 ઍડ કરો.

$$-8z=-40$$

બન્ને બાજુનો -8 થી ભાગાકાર કરો.

$$z=5$$

w+2z=15માં z માટે 5 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું w માટે ઉકેલો.

$$w+2\times 5=15$$

5 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$w+10=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 10 નો ઘટાડો કરો.

$$w=5$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$w=5,z=5$$