{l}{3u+5x=8}{5u+5x=14} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + 5 x = 8 } \\ { 5 u + 5 x = 14 } \end{array} \right.$$

u, x માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$u=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને u ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને u માટે ઉકેલો.

$$3u+5x=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5x નો ઘટાડો કરો.

$$3u=-5x+8$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$u=\frac{1}{3}\left(-5x+8\right)$$

-5x+8 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 5u+5x=14 માં u માટે \frac{-5x+8}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}\right)+5x=14$$

\frac{-5x+8}{3} ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{3}x+\frac{40}{3}+5x=14$$

5x માં -\frac{25x}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{10}{3}x+\frac{40}{3}=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{40}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{10}{3}x=\frac{2}{3}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{10}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$x=-\frac{1}{5}$$

u=-\frac{5}{3}x+\frac{8}{3}માં x માટે -\frac{1}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું u માટે ઉકેલો.

$$u=-\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{5}\right)+\frac{8}{3}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{5}{3} નો -\frac{1}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$u=\frac{1+8}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{1}{3} માં \frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$u=3$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-5\times 5}&\frac{3}{3\times 5-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{1}{2}\times 14\\\frac{1}{2}\times 8-\frac{3}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો u અને x ને કાઢો.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3u+5x=8,5u+5x=14$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 3u+5x=8માંથી 5u+5x=14 ને ઘટાડો.

$$3u-5u+5x-5x=8-14$$

-5x માં 5x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 5x અને -5x ને વિભાજિત કરો.

$$3u-5u=8-14$$

-5u માં 3u ઍડ કરો.

$$-2u=8-14$$

-14 માં 8 ઍડ કરો.

$$-2u=-6$$

બન્ને બાજુનો -2 થી ભાગાકાર કરો.

$$u=3$$

5u+5x=14માં u માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$5\times 3+5x=14$$

3 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$15+5x=14$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 15 નો ઘટાડો કરો.

$$5x=-1$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$u=3,x=-\frac{1}{5}$$