{l}{3t-2u=7}{9t-5u=18} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

t, u માટે ઉકેલો

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને t ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને t માટે ઉકેલો.

$$3t-2u=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2u ઍડ કરો.

$$3t=2u+7$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

2u+7 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, 9t-5u=18 માં t માટે \frac{2u+7}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

\frac{2u+7}{3} ને 9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$6u+21-5u=18$$

-5u માં 6u ઍડ કરો.

$$u+21=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 21 નો ઘટાડો કરો.

$$u=-3$$

t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}માં u માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું t માટે ઉકેલો.

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

-3 ને \frac{2}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

-2 માં \frac{7}{3} ઍડ કરો.

$$t=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો t અને u ને કાઢો.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

3t અને 9t ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

સરળ બનાવો.

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 27t-18u=63માંથી 27t-15u=54 ને ઘટાડો.

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

-27t માં 27t ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 27t અને -27t ને વિભાજિત કરો.

$$-18u+15u=63-54$$

15u માં -18u ઍડ કરો.

$$-3u=63-54$$

-54 માં 63 ઍડ કરો.

$$-3u=9$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$u=-3$$

9t-5u=18માં u માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું t માટે ઉકેલો.

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

-3 ને -5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$9t+15=18$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 15 નો ઘટાડો કરો.

$$9t=3$$

બન્ને બાજુનો 9 થી ભાગાકાર કરો.

$$t=\frac{1}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$