{l}{3c+5z=-15}{5c+3z=-9} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 c + 5 z = - 15 } \\ { 5 c + 3 z = - 9 } \end{array} \right.$$

c, z માટે ઉકેલો

$$z=-3$$

$$c=0$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને c ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને c માટે ઉકેલો.

$$3c+5z=-15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 5z નો ઘટાડો કરો.

$$3c=-5z-15$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$c=\frac{1}{3}\left(-5z-15\right)$$

-5z-15 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$c=-\frac{5}{3}z-5$$

અન્ય સમીકરણ, 5c+3z=-9 માં c માટે -\frac{5z}{3}-5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$5\left(-\frac{5}{3}z-5\right)+3z=-9$$

-\frac{5z}{3}-5 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{25}{3}z-25+3z=-9$$

3z માં -\frac{25z}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{16}{3}z-25=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 25 ઍડ કરો.

$$-\frac{16}{3}z=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{16}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$z=-3$$

c=-\frac{5}{3}z-5માં z માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું c માટે ઉકેલો.

$$c=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-5$$

-3 ને -\frac{5}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$c=5-5$$

5 માં -5 ઍડ કરો.

$$c=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$c=0,z=-3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 5}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}\\-\frac{5}{3\times 3-5\times 5}&\frac{3}{3\times 3-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{5}{16}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\-9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-15\right)+\frac{5}{16}\left(-9\right)\\\frac{5}{16}\left(-15\right)-\frac{3}{16}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}c\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો c અને z ને કાઢો.

$$c=0,z=-3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3c+5z=-15,5c+3z=-9$$

3c અને 5c ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 5 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$5\times 3c+5\times 5z=5\left(-15\right),3\times 5c+3\times 3z=3\left(-9\right)$$

સરળ બનાવો.

$$15c+25z=-75,15c+9z=-27$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 15c+25z=-75માંથી 15c+9z=-27 ને ઘટાડો.

$$15c-15c+25z-9z=-75+27$$

-15c માં 15c ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 15c અને -15c ને વિભાજિત કરો.

$$25z-9z=-75+27$$

-9z માં 25z ઍડ કરો.

$$16z=-75+27$$

27 માં -75 ઍડ કરો.

$$16z=-48$$

બન્ને બાજુનો 16 થી ભાગાકાર કરો.

$$z=-3$$

5c+3z=-9માં z માટે -3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું c માટે ઉકેલો.

$$5c+3\left(-3\right)=-9$$

-3 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$5c-9=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 9 ઍડ કરો.

$$5c=0$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$c=0$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$c=0,z=-3$$