{l}{3a+b=-3}{2a-b=-1} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + b = - 3 } \\ { 2 a - b = - 1 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$b=-\frac{3}{5}=-0.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$3a+b=-3$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી b નો ઘટાડો કરો.

$$3a=-b-3$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{3}\left(-b-3\right)$$

-b-3 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{1}{3}b-1$$

અન્ય સમીકરણ, 2a-b=-1 માં a માટે -\frac{b}{3}-1 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2\left(-\frac{1}{3}b-1\right)-b=-1$$

-\frac{b}{3}-1 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{2}{3}b-2-b=-1$$

-b માં -\frac{2b}{3} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{3}b-2=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2 ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{3}b=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=-\frac{3}{5}$$

a=-\frac{1}{3}b-1માં b માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{3} નો -\frac{3}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{1}{5}-1$$

\frac{1}{5} માં -1 ઍડ કરો.

$$a=-\frac{4}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3a+b=-3,2a-b=-1$$

3a અને 2a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2\times 3a+2b=2\left(-3\right),3\times 2a+3\left(-1\right)b=3\left(-1\right)$$

સરળ બનાવો.

$$6a+2b=-6,6a-3b=-3$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6a+2b=-6માંથી 6a-3b=-3 ને ઘટાડો.

$$6a-6a+2b+3b=-6+3$$

-6a માં 6a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6a અને -6a ને વિભાજિત કરો.

$$2b+3b=-6+3$$

3b માં 2b ઍડ કરો.

$$5b=-6+3$$

3 માં -6 ઍડ કરો.

$$5b=-3$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=-\frac{3}{5}$$

2a-b=-1માં b માટે -\frac{3}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$2a-\left(-\frac{3}{5}\right)=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{3}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$2a=-\frac{8}{5}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=-\frac{4}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=-\frac{4}{5},b=-\frac{3}{5}$$