{l}{3A-13c=-255}{31A-6c=-180} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 A - 13 c = - 255 } \\ { 31 A - 6 c = - 180 } \end{array} \right.$$

A, c માટે ઉકેલો

$$A = -\frac{162}{77} = -2\frac{8}{77} \approx -2.103896104$$

$$c = \frac{1473}{77} = 19\frac{10}{77} \approx 19.12987013$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને A ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને A માટે ઉકેલો.

$$3A-13c=-255$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 13c ઍડ કરો.

$$3A=13c-255$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$A=\frac{1}{3}\left(13c-255\right)$$

13c-255 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$A=\frac{13}{3}c-85$$

અન્ય સમીકરણ, 31A-6c=-180 માં A માટે \frac{13c}{3}-85 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$31\left(\frac{13}{3}c-85\right)-6c=-180$$

\frac{13c}{3}-85 ને 31 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{403}{3}c-2635-6c=-180$$

-6c માં \frac{403c}{3} ઍડ કરો.

$$\frac{385}{3}c-2635=-180$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 2635 ઍડ કરો.

$$\frac{385}{3}c=2455$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{385}{3} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$c=\frac{1473}{77}$$

A=\frac{13}{3}c-85માં c માટે \frac{1473}{77} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું A માટે ઉકેલો.

$$A=\frac{13}{3}\times \frac{1473}{77}-85$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{13}{3} નો \frac{1473}{77} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$A=\frac{6383}{77}-85$$

\frac{6383}{77} માં -85 ઍડ કરો.

$$A=-\frac{162}{77}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-13\\31&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&-\frac{-13}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\\-\frac{31}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}&\frac{3}{3\left(-6\right)-\left(-13\times 31\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}&\frac{13}{385}\\-\frac{31}{385}&\frac{3}{385}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-255\\-180\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{385}\left(-255\right)+\frac{13}{385}\left(-180\right)\\-\frac{31}{385}\left(-255\right)+\frac{3}{385}\left(-180\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}A\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{162}{77}\\\frac{1473}{77}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો A અને c ને કાઢો.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3A-13c=-255,31A-6c=-180$$

3A અને 31A ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 31 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$31\times 3A+31\left(-13\right)c=31\left(-255\right),3\times 31A+3\left(-6\right)c=3\left(-180\right)$$

સરળ બનાવો.

$$93A-403c=-7905,93A-18c=-540$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 93A-403c=-7905માંથી 93A-18c=-540 ને ઘટાડો.

$$93A-93A-403c+18c=-7905+540$$

-93A માં 93A ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 93A અને -93A ને વિભાજિત કરો.

$$-403c+18c=-7905+540$$

18c માં -403c ઍડ કરો.

$$-385c=-7905+540$$

540 માં -7905 ઍડ કરો.

$$-385c=-7365$$

બન્ને બાજુનો -385 થી ભાગાકાર કરો.

$$c=\frac{1473}{77}$$

31A-6c=-180માં c માટે \frac{1473}{77} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું A માટે ઉકેલો.

$$31A-6\times \frac{1473}{77}=-180$$

\frac{1473}{77} ને -6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$31A-\frac{8838}{77}=-180$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{8838}{77} ઍડ કરો.

$$31A=-\frac{5022}{77}$$

બન્ને બાજુનો 31 થી ભાગાકાર કરો.

$$A=-\frac{162}{77}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$A=-\frac{162}{77},c=\frac{1473}{77}$$