{l}{3(x-1)=y+5(1)}{5(y-1)=3(x+5)(2)} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = y + 5 ( 1 ) } \\ { 5 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) ( 2 ) } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{25}{3} = 8\frac{1}{3} \approx 8.333333333$$

$$y=17$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=y+5\times 1$$

5 મેળવવા માટે 5 સાથે 1 નો ગુણાકાર કરો.

$$3x-3=y+5$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-3-y=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-y=5+3$$

8મેળવવા માટે 5 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3\left(x+5\right)\times 2$$

6 મેળવવા માટે 3 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$5y-5=6\left(x+5\right)$$

6 સાથે x+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=6x+30$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$5y-5-6x=30$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$5y-6x=30+5$$

35મેળવવા માટે 30 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$5y-6x=35$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3x-y=8,-6x+5y=35$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$3x-y=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$3x=y+8$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

y+8 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

અન્ય સમીકરણ, -6x+5y=35 માં x માટે \frac{8+y}{3} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-6\left(\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}\right)+5y=35$$

\frac{8+y}{3} ને -6 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-2y-16+5y=35$$

5y માં -2y ઍડ કરો.

$$3y-16=35$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 16 ઍડ કરો.

$$3y=51$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}માં y માટે 17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{3}\times 17+\frac{8}{3}$$

17 ને \frac{1}{3} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{17+8}{3}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{17}{3} માં \frac{8}{3} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{25}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{3},y=17$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=y+5\times 1$$

5 મેળવવા માટે 5 સાથે 1 નો ગુણાકાર કરો.

$$3x-3=y+5$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-3-y=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-y=5+3$$

8મેળવવા માટે 5 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3\left(x+5\right)\times 2$$

6 મેળવવા માટે 3 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$5y-5=6\left(x+5\right)$$

6 સાથે x+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=6x+30$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$5y-5-6x=30$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$5y-6x=30+5$$

35મેળવવા માટે 30 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$5y-6x=35$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-y=8,-6x+5y=35$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\35\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\35\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\-6&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-\left(-6\right)\right)}&-\frac{-1}{3\times 5-\left(-\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{3\times 5-\left(-\left(-6\right)\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\35\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\35\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 8+\frac{1}{9}\times 35\\\frac{2}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 35\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{3}\\17\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{25}{3},y=17$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. 3 સાથે x-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$3x-3=y+5\times 1$$

5 મેળવવા માટે 5 સાથે 1 નો ગુણાકાર કરો.

$$3x-3=y+5$$

બન્ને બાજુથી y ઘટાડો.

$$3x-3-y=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 3 ઍડ કરો.

$$3x-y=5+3$$

8મેળવવા માટે 5 અને 3 ને ઍડ કરો.

$$3x-y=8$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 5 સાથે y-1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=3\left(x+5\right)\times 2$$

6 મેળવવા માટે 3 સાથે 2 નો ગુણાકાર કરો.

$$5y-5=6\left(x+5\right)$$

6 સાથે x+5 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$5y-5=6x+30$$

બન્ને બાજુથી 6x ઘટાડો.

$$5y-5-6x=30$$

બંને સાઇડ્સ માટે 5 ઍડ કરો.

$$5y-6x=30+5$$

35મેળવવા માટે 30 અને 5 ને ઍડ કરો.

$$5y-6x=35$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$3x-y=8,-6x+5y=35$$

3x અને -6x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -6 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-6\times 3x-6\left(-1\right)y=-6\times 8,3\left(-6\right)x+3\times 5y=3\times 35$$

સરળ બનાવો.

$$-18x+6y=-48,-18x+15y=105$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -18x+6y=-48માંથી -18x+15y=105 ને ઘટાડો.

$$-18x+18x+6y-15y=-48-105$$

18x માં -18x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -18x અને 18x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-15y=-48-105$$

-15y માં 6y ઍડ કરો.

$$-9y=-48-105$$

-105 માં -48 ઍડ કરો.

$$-9y=-153$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=17$$

-6x+5y=35માં y માટે 17 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-6x+5\times 17=35$$

17 ને 5 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6x+85=35$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 85 નો ઘટાડો કરો.

$$-6x=-50$$

બન્ને બાજુનો -6 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{25}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{25}{3},y=17$$