{l}{22x+y=50}{27x-y=96} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 22 x + y = 50 } \\ { 27 x - y = 96 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{146}{49} = 2\frac{48}{49} \approx 2.979591837$$

$$y = -\frac{762}{49} = -15\frac{27}{49} \approx -15.551020408$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$22x+y=50$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી y નો ઘટાડો કરો.

$$22x=-y+50$$

બન્ને બાજુનો 22 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{22}\left(-y+50\right)$$

-y+50 ને \frac{1}{22} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}$$

અન્ય સમીકરણ, 27x-y=96 માં x માટે -\frac{y}{22}+\frac{25}{11} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$27\left(-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}\right)-y=96$$

-\frac{y}{22}+\frac{25}{11} ને 27 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{27}{22}y+\frac{675}{11}-y=96$$

-y માં -\frac{27y}{22} ઍડ કરો.

$$-\frac{49}{22}y+\frac{675}{11}=96$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{675}{11} નો ઘટાડો કરો.

$$-\frac{49}{22}y=\frac{381}{11}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{49}{22} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{762}{49}$$

x=-\frac{1}{22}y+\frac{25}{11}માં y માટે -\frac{762}{49} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-\frac{1}{22}\left(-\frac{762}{49}\right)+\frac{25}{11}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને -\frac{1}{22} નો -\frac{762}{49} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{381}{539}+\frac{25}{11}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{381}{539} માં \frac{25}{11} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{146}{49}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&1\\27&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}&-\frac{1}{22\left(-1\right)-27}\\-\frac{27}{22\left(-1\right)-27}&\frac{22}{22\left(-1\right)-27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}&\frac{1}{49}\\\frac{27}{49}&-\frac{22}{49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\96\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{49}\times 50+\frac{1}{49}\times 96\\\frac{27}{49}\times 50-\frac{22}{49}\times 96\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{146}{49}\\-\frac{762}{49}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$22x+y=50,27x-y=96$$

22x અને 27x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 27 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 22 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$27\times 22x+27y=27\times 50,22\times 27x+22\left(-1\right)y=22\times 96$$

સરળ બનાવો.

$$594x+27y=1350,594x-22y=2112$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 594x+27y=1350માંથી 594x-22y=2112 ને ઘટાડો.

$$594x-594x+27y+22y=1350-2112$$

-594x માં 594x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 594x અને -594x ને વિભાજિત કરો.

$$27y+22y=1350-2112$$

22y માં 27y ઍડ કરો.

$$49y=1350-2112$$

-2112 માં 1350 ઍડ કરો.

$$49y=-762$$

બન્ને બાજુનો 49 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{762}{49}$$

27x-y=96માં y માટે -\frac{762}{49} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$27x-\left(-\frac{762}{49}\right)=96$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{762}{49} નો ઘટાડો કરો.

$$27x=\frac{3942}{49}$$

બન્ને બાજુનો 27 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{146}{49}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{146}{49},y=-\frac{762}{49}$$