{l}{20a+3b=41}{15a+7b=45} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 20 a + 3 b = 41 } \\ { 15 a + 7 b = 45 } \end{array} \right.$$

a, b માટે ઉકેલો

$$a = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$b=3$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને a ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને a માટે ઉકેલો.

$$20a+3b=41$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3b નો ઘટાડો કરો.

$$20a=-3b+41$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{1}{20}\left(-3b+41\right)$$

-3b+41 ને \frac{1}{20} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}$$

અન્ય સમીકરણ, 15a+7b=45 માં a માટે \frac{-3b+41}{20} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$15\left(-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}\right)+7b=45$$

\frac{-3b+41}{20} ને 15 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-\frac{9}{4}b+\frac{123}{4}+7b=45$$

7b માં -\frac{9b}{4} ઍડ કરો.

$$\frac{19}{4}b+\frac{123}{4}=45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{123}{4} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{19}{4}b=\frac{57}{4}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{19}{4} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$b=3$$

a=-\frac{3}{20}b+\frac{41}{20}માં b માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$a=-\frac{3}{20}\times 3+\frac{41}{20}$$

3 ને -\frac{3}{20} વાર ગુણાકાર કરો.

$$a=\frac{-9+41}{20}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{9}{20} માં \frac{41}{20} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$a=\frac{8}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&3\\15&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20\times 7-3\times 15}&-\frac{3}{20\times 7-3\times 15}\\-\frac{15}{20\times 7-3\times 15}&\frac{20}{20\times 7-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&-\frac{3}{95}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\45\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\times 41-\frac{3}{95}\times 45\\-\frac{3}{19}\times 41+\frac{4}{19}\times 45\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\3\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો a અને b ને કાઢો.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$20a+3b=41,15a+7b=45$$

20a અને 15a ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 15 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 20 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$15\times 20a+15\times 3b=15\times 41,20\times 15a+20\times 7b=20\times 45$$

સરળ બનાવો.

$$300a+45b=615,300a+140b=900$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 300a+45b=615માંથી 300a+140b=900 ને ઘટાડો.

$$300a-300a+45b-140b=615-900$$

-300a માં 300a ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 300a અને -300a ને વિભાજિત કરો.

$$45b-140b=615-900$$

-140b માં 45b ઍડ કરો.

$$-95b=615-900$$

-900 માં 615 ઍડ કરો.

$$-95b=-285$$

બન્ને બાજુનો -95 થી ભાગાકાર કરો.

$$b=3$$

15a+7b=45માં b માટે 3 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું a માટે ઉકેલો.

$$15a+7\times 3=45$$

3 ને 7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$15a+21=45$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 21 નો ઘટાડો કરો.

$$15a=24$$

બન્ને બાજુનો 15 થી ભાગાકાર કરો.

$$a=\frac{8}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$a=\frac{8}{5},b=3$$