{l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2 માટે ઉકેલો

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x_{1} ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x_{1} માટે ઉકેલો.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 3x_{2} નો ઘટાડો કરો.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

-3x_{2}+7 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 4x_{1}-4x_{2}=-6 માં x_{1} માટે \frac{-3x_{2}+7}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

\frac{-3x_{2}+7}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

-4x_{2} માં -6x_{2} ઍડ કરો.

$$-10x_{2}+14=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 14 નો ઘટાડો કરો.

$$-10x_{2}=-20$$

બન્ને બાજુનો -10 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{2}=2$$

x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}માં x_{2} માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

2 ને -\frac{3}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

-3 માં \frac{7}{2} ઍડ કરો.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x_{1} અને x_{2} ને કાઢો.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

2x_{1} અને 4x_{1} ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

સરળ બનાવો.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 8x_{1}+12x_{2}=28માંથી 8x_{1}-8x_{2}=-12 ને ઘટાડો.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

-8x_{1} માં 8x_{1} ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8x_{1} અને -8x_{1} ને વિભાજિત કરો.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

8x_{2} માં 12x_{2} ઍડ કરો.

$$20x_{2}=28+12$$

12 માં 28 ઍડ કરો.

$$20x_{2}=40$$

બન્ને બાજુનો 20 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{2}=2$$

4x_{1}-4x_{2}=-6માં x_{2} માટે 2 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x_{1} માટે ઉકેલો.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

2 ને -4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$4x_{1}-8=-6$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$4x_{1}=2$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$