{l}{2x-y=1}{x+y=4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - y = 1 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-y=1,x+y=4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-y=1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ y ઍડ કરો.

$$2x=y+1$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

y+1 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, x+y=4 માં x માટે \frac{1+y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

y માં \frac{y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{1}{2} નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{3}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{7}{3}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}માં y માટે \frac{7}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{1}{2} નો \frac{7}{3} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{7}{6}+\frac{1}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને \frac{7}{6} માં \frac{1}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{5}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-y=1,x+y=4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-y=1,x+y=4$$

2x અને x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$2x-y=1,2x+2y=2\times 4$$

સરળ બનાવો.

$$2x-y=1,2x+2y=8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 2x-y=1માંથી 2x+2y=8 ને ઘટાડો.

$$2x-2x-y-2y=1-8$$

-2x માં 2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 2x અને -2x ને વિભાજિત કરો.

$$-y-2y=1-8$$

-2y માં -y ઍડ કરો.

$$-3y=1-8$$

-8 માં 1 ઍડ કરો.

$$-3y=-7$$

બન્ને બાજુનો -3 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{7}{3}$$

x+y=4માં y માટે \frac{7}{3} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x+\frac{7}{3}=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{7}{3} નો ઘટાડો કરો.

$$x=\frac{5}{3}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{7}{3}$$