{l}{2x-6y=16}{-x+2y=-4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 6 y = 16 } \\ { - x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-4$$

$$y=-4$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-6y=16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 6y ઍડ કરો.

$$2x=6y+16$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(6y+16\right)$$

6y+16 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=3y+8$$

અન્ય સમીકરણ, -x+2y=-4 માં x માટે 3y+8 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-\left(3y+8\right)+2y=-4$$

3y+8 ને -1 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-3y-8+2y=-4$$

2y માં -3y ઍડ કરો.

$$-y-8=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$-y=4$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-4$$

x=3y+8માં y માટે -4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=3\left(-4\right)+8$$

-4 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-12+8$$

-12 માં 8 ઍડ કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-4$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-6\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ માટે \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), પ્રતિલોભ મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શક્યે છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&-\frac{-6}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-6\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16-3\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\times 16-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-4,y=-4$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-6y=16,-x+2y=-4$$

2x અને -x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -1 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-2x-\left(-6y\right)=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

સરળ બનાવો.

$$-2x+6y=-16,-2x+4y=-8$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -2x+6y=-16માંથી -2x+4y=-8 ને ઘટાડો.

$$-2x+2x+6y-4y=-16+8$$

2x માં -2x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -2x અને 2x ને વિભાજિત કરો.

$$6y-4y=-16+8$$

-4y માં 6y ઍડ કરો.

$$2y=-16+8$$

8 માં -16 ઍડ કરો.

$$2y=-8$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-4$$

-x+2y=-4માં y માટે -4 ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-x+2\left(-4\right)=-4$$

-4 ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-x-8=-4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 8 ઍડ કરો.

$$-x=4$$

બન્ને બાજુનો -1 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-4$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-4,y=-4$$