{l}{2x-5y=4}{3x+2y=5} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 4 } \\ { 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{33}{19} = 1\frac{14}{19} \approx 1.736842105$$

$$y=-\frac{2}{19}\approx -0.105263158$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-5y=4$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$2x=5y+4$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+4\right)$$

5y+4 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{2}y+2$$

અન્ય સમીકરણ, 3x+2y=5 માં x માટે \frac{5y}{2}+2 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{5}{2}y+2\right)+2y=5$$

\frac{5y}{2}+2 ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{15}{2}y+6+2y=5$$

2y માં \frac{15y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{19}{2}y+6=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 6 નો ઘટાડો કરો.

$$\frac{19}{2}y=-1$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{19}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{2}{19}$$

x=\frac{5}{2}y+2માં y માટે -\frac{2}{19} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{2}{19}\right)+2$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{2} નો -\frac{2}{19} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{5}{19}+2$$

-\frac{5}{19} માં 2 ઍડ કરો.

$$x=\frac{33}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 4+\frac{5}{19}\times 5\\-\frac{3}{19}\times 4+\frac{2}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{19}\\-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-5y=4,3x+2y=5$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\times 5$$

સરળ બનાવો.

$$6x-15y=12,6x+4y=10$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x-15y=12માંથી 6x+4y=10 ને ઘટાડો.

$$6x-6x-15y-4y=12-10$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$-15y-4y=12-10$$

-4y માં -15y ઍડ કરો.

$$-19y=12-10$$

-10 માં 12 ઍડ કરો.

$$-19y=2$$

બન્ને બાજુનો -19 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{2}{19}$$

3x+2y=5માં y માટે -\frac{2}{19} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x+2\left(-\frac{2}{19}\right)=5$$

-\frac{2}{19} ને 2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x-\frac{4}{19}=5$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{4}{19} ઍડ કરો.

$$3x=\frac{99}{19}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{33}{19}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{33}{19},y=-\frac{2}{19}$$