{l}{2x-5y=10}{4x+y=15} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = 10 } \\ { 4 x + y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{85}{22} = 3\frac{19}{22} \approx 3.863636364$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-5y=10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 5y ઍડ કરો.

$$2x=5y+10$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y+10\right)$$

10+5y ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{5}{2}y+5$$

અન્ય સમીકરણ, 4x+y=15 માં x માટે 5+\frac{5y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$4\left(\frac{5}{2}y+5\right)+y=15$$

5+\frac{5y}{2} ને 4 વાર ગુણાકાર કરો.

$$10y+20+y=15$$

y માં 10y ઍડ કરો.

$$11y+20=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 20 નો ઘટાડો કરો.

$$11y=-5$$

બન્ને બાજુનો 11 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{2}y+5માં y માટે -\frac{5}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{11}\right)+5$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{5}{2} નો -\frac{5}{11} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{25}{22}+5$$

-\frac{25}{22} માં 5 ઍડ કરો.

$$x=\frac{85}{22}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\15\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}\times 10+\frac{5}{22}\times 15\\-\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{85}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-5y=10,4x+y=15$$

2x અને 4x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 4 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 10,2\times 4x+2y=2\times 15$$

સરળ બનાવો.

$$8x-20y=40,8x+2y=30$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 8x-20y=40માંથી 8x+2y=30 ને ઘટાડો.

$$8x-8x-20y-2y=40-30$$

-8x માં 8x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 8x અને -8x ને વિભાજિત કરો.

$$-20y-2y=40-30$$

-2y માં -20y ઍડ કરો.

$$-22y=40-30$$

-30 માં 40 ઍડ કરો.

$$-22y=10$$

બન્ને બાજુનો -22 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{5}{11}$$

4x+y=15માં y માટે -\frac{5}{11} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$4x-\frac{5}{11}=15$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{5}{11} ઍડ કરો.

$$4x=\frac{170}{11}$$

બન્ને બાજુનો 4 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{85}{22}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{85}{22},y=-\frac{5}{11}$$