{l}{2x-3y+9=0}{3x-7y=8} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y + 9 = 0 } \\ { 3 x - 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = -\frac{87}{5} = -17\frac{2}{5} = -17.4$$

$$y = -\frac{43}{5} = -8\frac{3}{5} = -8.6$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-3y+9=0,3x-7y=8$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-3y+9=0$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 9 નો ઘટાડો કરો.

$$2x-3y=-9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 3y ઍડ કરો.

$$2x=3y-9$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-9\right)$$

-9+3y ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

અન્ય સમીકરણ, 3x-7y=8 માં x માટે \frac{-9+3y}{2} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-7y=8$$

\frac{-9+3y}{2} ને 3 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}-7y=8$$

-7y માં \frac{9y}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{2}y-\frac{27}{2}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{27}{2} ઍડ કરો.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{43}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો -\frac{5}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=-\frac{43}{5}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}માં y માટે -\frac{43}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{43}{5}\right)-\frac{9}{2}$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{3}{2} નો -\frac{43}{5} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{129}{10}-\frac{9}{2}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{129}{10} માં -\frac{9}{2} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{87}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{87}{5},y=-\frac{43}{5}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-3y+9=0,3x-7y=8$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\8\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-7\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-7\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\8\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\left(-9\right)-\frac{3}{5}\times 8\\\frac{3}{5}\left(-9\right)-\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{87}{5}\\-\frac{43}{5}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{87}{5},y=-\frac{43}{5}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-3y+9=0,3x-7y=8$$

2x અને 3x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 3 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y+3\times 9=0,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 8$$

સરળ બનાવો.

$$6x-9y+27=0,6x-14y=16$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 6x-9y+27=0માંથી 6x-14y=16 ને ઘટાડો.

$$6x-6x-9y+14y+27=-16$$

-6x માં 6x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 6x અને -6x ને વિભાજિત કરો.

$$-9y+14y+27=-16$$

14y માં -9y ઍડ કરો.

$$5y+27=-16$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 27 નો ઘટાડો કરો.

$$5y=-43$$

બન્ને બાજુનો 5 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=-\frac{43}{5}$$

3x-7y=8માં y માટે -\frac{43}{5} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$3x-7\left(-\frac{43}{5}\right)=8$$

-\frac{43}{5} ને -7 વાર ગુણાકાર કરો.

$$3x+\frac{301}{5}=8$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{301}{5} નો ઘટાડો કરો.

$$3x=-\frac{261}{5}$$

બન્ને બાજુનો 3 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{87}{5}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{87}{5},y=-\frac{43}{5}$$