{l}{2x-2+4y=1/2}{8(y-1/2)=9(x+1)-4} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 2 + 4 y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( x + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2}મેળવવા માટે \frac{1}{2} અને 2 ને ઍડ કરો.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 8 સાથે y-\frac{1}{2} નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8y-4=9x+9-4$$

5 મેળવવા માટે 9 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$8y-4=9x+5$$

બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$8y-4-9x=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$8y-9x=5+4$$

9મેળવવા માટે 5 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$8y-9x=9$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી 4y નો ઘટાડો કરો.

$$2x=-4y+\frac{5}{2}$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+\frac{5}{2}\right)$$

-4y+\frac{5}{2} ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-2y+\frac{5}{4}$$

અન્ય સમીકરણ, -9x+8y=9 માં x માટે -2y+\frac{5}{4} નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$-9\left(-2y+\frac{5}{4}\right)+8y=9$$

-2y+\frac{5}{4} ને -9 વાર ગુણાકાર કરો.

$$18y-\frac{45}{4}+8y=9$$

8y માં 18y ઍડ કરો.

$$26y-\frac{45}{4}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{45}{4} ઍડ કરો.

$$26y=\frac{81}{4}$$

બન્ને બાજુનો 26 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{81}{104}$$

x=-2y+\frac{5}{4}માં y માટે \frac{81}{104} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

\frac{81}{104} ને -2 વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

સામાન્ય ભાજક શોધી અને ગુણકોને ઍડ કરીને -\frac{81}{52} માં \frac{5}{4} ઍડ કરો. તે પછી અપૂર્ણાંકને જો સંભાવિત હોય તો ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=-\frac{4}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2}મેળવવા માટે \frac{1}{2} અને 2 ને ઍડ કરો.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 8 સાથે y-\frac{1}{2} નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8y-4=9x+9-4$$

5 મેળવવા માટે 9 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$8y-4=9x+5$$

બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$8y-4-9x=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$8y-9x=5+4$$

9મેળવવા માટે 5 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$8y-9x=9$$

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રથમ સમીકરણનો વિચાર કરો. બંને સાઇડ્સ માટે 2 ઍડ કરો.

$$2x+4y=\frac{1}{2}+2$$

\frac{5}{2}મેળવવા માટે \frac{1}{2} અને 2 ને ઍડ કરો.

$$2x+4y=\frac{5}{2}$$

બીજા સમીકરણનો વિચાર કરો. 8 સાથે y-\frac{1}{2} નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8y-4=9\left(x+1\right)-4$$

9 સાથે x+1 નો ગુણાકાર કરવા માટે પ્રત્યેક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.

$$8y-4=9x+9-4$$

5 મેળવવા માટે 9 માંથી 4 ને ઘટાડો.

$$8y-4=9x+5$$

બન્ને બાજુથી 9x ઘટાડો.

$$8y-4-9x=5$$

બંને સાઇડ્સ માટે 4 ઍડ કરો.

$$8y-9x=5+4$$

9મેળવવા માટે 5 અને 4 ને ઍડ કરો.

$$8y-9x=9$$

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x+4y=\frac{5}{2},-9x+8y=9$$

2x અને -9x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો -9 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$-9\times 2x-9\times 4y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)x+2\times 8y=2\times 9$$

સરળ બનાવો.

$$-18x-36y=-\frac{45}{2},-18x+16y=18$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી -18x-36y=-\frac{45}{2}માંથી -18x+16y=18 ને ઘટાડો.

$$-18x+18x-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

18x માં -18x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો -18x અને 18x ને વિભાજિત કરો.

$$-36y-16y=-\frac{45}{2}-18$$

-16y માં -36y ઍડ કરો.

$$-52y=-\frac{45}{2}-18$$

-18 માં -\frac{45}{2} ઍડ કરો.

$$-52y=-\frac{81}{2}$$

બન્ને બાજુનો -52 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{81}{104}$$

-9x+8y=9માં y માટે \frac{81}{104} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$-9x+8\times \frac{81}{104}=9$$

\frac{81}{104} ને 8 વાર ગુણાકાર કરો.

$$-9x+\frac{81}{13}=9$$

સમીકરણની બન્ને બાજુથી \frac{81}{13} નો ઘટાડો કરો.

$$-9x=\frac{36}{13}$$

બન્ને બાજુનો -9 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=-\frac{4}{13}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=-\frac{4}{13},y=\frac{81}{104}$$