{l}{2x-19y=-10}{19x-18y=13} ઉકેલો

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 19 y = - 10 } \\ { 19 x - 18 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y માટે ઉકેલો

$$x = \frac{427}{325} = 1\frac{102}{325} \approx 1.313846154$$

$$y=\frac{216}{325}\approx 0.664615385$$

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

પ્રતિસ્થાપનનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણની જોડીને ઉકેલવા માટે, પહેલા બેમાંથી એક ચલ માટે એક સમીકરણને ઉકેલો. પછી પરીણામને તે ચલ માટે અન્ય સમીકરણમાં પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

એક સમીકરણની પસંદગી કરો અને તેને x ને બરાબર ચિહ્નના ડાબા હાથ બાજુએ આઇસોલેટ કરીને x માટે ઉકેલો.

$$2x-19y=-10$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 19y ઍડ કરો.

$$2x=19y-10$$

બન્ને બાજુનો 2 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{1}{2}\left(19y-10\right)$$

19y-10 ને \frac{1}{2} વાર ગુણાકાર કરો.

$$x=\frac{19}{2}y-5$$

અન્ય સમીકરણ, 19x-18y=13 માં x માટે \frac{19y}{2}-5 નો પ્રતિસ્થાપન કરો.

$$19\left(\frac{19}{2}y-5\right)-18y=13$$

\frac{19y}{2}-5 ને 19 વાર ગુણાકાર કરો.

$$\frac{361}{2}y-95-18y=13$$

-18y માં \frac{361y}{2} ઍડ કરો.

$$\frac{325}{2}y-95=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ 95 ઍડ કરો.

$$\frac{325}{2}y=108$$

સમીકરણની બન્ને બાજુનો \frac{325}{2} થી ભાગાકાર કરો, જે બન્ને બાજુને અપૂર્ણાંકના વ્યુત્ક્રમ સાથે ગુણાકાર કરવાના સમાન છે.

$$y=\frac{216}{325}$$

x=\frac{19}{2}y-5માં y માટે \frac{216}{325} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$x=\frac{19}{2}\times \frac{216}{325}-5$$

ગુણક વખતનો ગુણક અને ભાજક વખતનો ભાજક દ્વારા ગુણાકાર કરીને \frac{19}{2} નો \frac{216}{325} વાર ગુણાકાર કરો. પછી જો શક્ય હોય તો અપૂર્ણાંકને ન્યૂનતમ પદો પર ઘટાડો.

$$x=\frac{2052}{325}-5$$

\frac{2052}{325} માં -5 ઍડ કરો.

$$x=\frac{427}{325}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

સમીકરણને માનક પ્રપત્રમાં મૂકો અને પછી સમીકરણના સિસ્ટમને ઉકેલવા માટે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરો.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

સમીકરણને મેટ્રિક્સના પ્રપત્રમાં લખો.

$$\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right) ના વ્યુત્ક્રમ મેટ્રિક્સ દ્વારા સમીકરણનો ડાબે ગુણાકાર કરો.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ અને તેના વ્યુત્ક્રમનું ગુણનફળ એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

બરાબરની નિશાનીના ડાબા હાથ બાજુ પર મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-19\\19&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ના મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) માટે, વિપરીત મેટ્રિક્સ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) છે, એટલે મેટ્રિક્સ સમીકરણને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સમસ્યા તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&-\frac{-19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\\-\frac{19}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}&\frac{2}{2\left(-18\right)-\left(-19\times 19\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}&\frac{19}{325}\\-\frac{19}{325}&\frac{2}{325}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\13\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{325}\left(-10\right)+\frac{19}{325}\times 13\\-\frac{19}{325}\left(-10\right)+\frac{2}{325}\times 13\end{matrix}\right)$$

અંકગણિતીય કરો.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{427}{325}\\\frac{216}{325}\end{matrix}\right)$$

મેટ્રિક્સ ઘટકો x અને y ને કાઢો.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$

બાકાતનો ઉપયોગ કરતા પગલાં

બકાત કરવાથી ઉકેલવા માટે, બન્ને સમીકરણમાં બેમાંથી એક ચલના ગુણાંકો સમાન હોવા જોઈએ જેથી જ્યારે એક સમીકરણમાંથી અન્યનો ઘટાડો કરાય ત્યારે ચલ વિભાજિત થઈ જાય.

$$2x-19y=-10,19x-18y=13$$

2x અને 19x ને સમાન બનાવવા માટે, પ્રથમ સમીકરણની પ્રત્યેક બાજુના બધા પદોનો 19 સાથે ગુણાકાર કરો અને બીજાના પ્રત્યેક પદોનો 2 સાથે ગુણાકાર કરો.

$$19\times 2x+19\left(-19\right)y=19\left(-10\right),2\times 19x+2\left(-18\right)y=2\times 13$$

સરળ બનાવો.

$$38x-361y=-190,38x-36y=26$$

બરાબર ચિહ્નની પ્રત્યેક બાજુ સરખા પદોને ઘટાડવાથી 38x-361y=-190માંથી 38x-36y=26 ને ઘટાડો.

$$38x-38x-361y+36y=-190-26$$

-38x માં 38x ઍડ કરો. માત્ર એક જ ચલવાળા સમીકરણ કે જેને ઉકેલી શકાય છે તેને છોડીને, નિયમો 38x અને -38x ને વિભાજિત કરો.

$$-361y+36y=-190-26$$

36y માં -361y ઍડ કરો.

$$-325y=-190-26$$

-26 માં -190 ઍડ કરો.

$$-325y=-216$$

બન્ને બાજુનો -325 થી ભાગાકાર કરો.

$$y=\frac{216}{325}$$

19x-18y=13માં y માટે \frac{216}{325} ને પ્રતિસ્થાપિત કરો. કારણ કે પરિણામી સમીકરણમાં માત્ર એક ચલનો સમાવેશ થાય છે, તમે એને સીધું x માટે ઉકેલો.

$$19x-18\times \frac{216}{325}=13$$

\frac{216}{325} ને -18 વાર ગુણાકાર કરો.

$$19x-\frac{3888}{325}=13$$

સમીકરણની બન્ને બાજુ \frac{3888}{325} ઍડ કરો.

$$19x=\frac{8113}{325}$$

બન્ને બાજુનો 19 થી ભાગાકાર કરો.

$$x=\frac{427}{325}$$

સિસ્ટમ હવે ઉકેલાઈ ગઈ છે.

$$x=\frac{427}{325},y=\frac{216}{325}$$